LỚP 10- HDG ĐỀ HSG-CẤP TRƯỜNG

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲ HỢP 1
Ngày thi: 30/01/2018
***
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
Năm học 2017 – 2018
Môn thi: Toán – Lớp 10
(Thời gian làm bài: 150 phút)

Câu I ( 2+2=4 điểm)
Cho parabol

Tìm các giá trị của
để parabol có đỉnh
.
Với giá trị của
tìm được ở câu 1, tìm giá trị của
để đường thẳng
cắt parabol tại hai điểm phân biệt
sao cho trung điểm của đoạn thẳng
nằm trên đường thẳng

.
Câu II ( 2 điểm)
Cho tam giác đều
và các điểm
thỏa mãn
,
,
. Tìm k để
vuông góc với
.
Câu III( 3+3+3=9 điểm)
Tìm m để phương trình

có hai nghiệm
sao cho


Giải phương trình

Giải hệ phương trình
.
Câu IV( 1.5+1.5=3 điểm)
Cho hình vuông
cạnh có độ dài là a. Gọi
là các điểm xác định bởi

đường thẳng
cắt đường thẳng
tại điểm
.
Tính giá trị của
theo a.
Chứng minh rằng
.
Câu V ( 2 điểm)
Cho các số dương a, b, c có a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.

- - - - Hết - - - - -
“CHÚ Ý : HỌC SINH KHÔNG ĐƯỢC SỬ DỤNG MÁY TÍNH”

Bài
HƯỚNG DẪN CHẤM
Điểm

Bài 1

4 điểm

Câu 1
 Tìm
….
2 điểm


Do Parabol nên
và có trục đối xứng
nên
.
0,5


Tọa độ đỉnh có tung độ là
mà
nên ta có:
hay

0,5


Ta có hệ pt
thế vào ta được:


Nếu
loại.
Nếu
thỏa mãn.
Vậy
là giá trị cần tìm.
1,0

Câu 1 ý 2
Tìm m … với parabol

2 điểm






Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì pt

có hai nghiệm phân biệt
,
hay pt:
có hai nghiệm phân biệt
có

0,5



Khi đó, giao điểm
,
,
nên trung điểm của đoạn
là
.
0,5


Theo định lý Viet ta có
nên

0,5


Do I thuộc đường thẳng
nên
hay
thì thỏa mãn bài toán.
0,5


Bài 2
Cho tam giác đều
và các điểm
thỏa mãn
,
,
. Tìm k để
vuông góc với
.



+)


.
+)





Để
vuông góc với
thì








KL:



Câu 3




 Tìm m để phương trình

Giải:
PT
đặt

PT trở thành :
(1)
PT ban đầu có nghiệm


(1) có nghiệm







Giải phương trình

giải:
Điều kiện:

Đặt
với a, b, c là số thực không âm.
Ta có

Do đó


Nhân từng vế ba phương trình ta được

Suy ra

Suy ra
. Thử lại
thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là





 Giải hệ phương trình
.
Giải
Giải hệ phương trình
.
ĐKXĐ:
.


Thay vào pt thứ nhất ta được:


(Có thể bình phương được pt:

Giải hai pt này ta được

Vậy hệ có hai nghiệm là
.



Câu 4


Giải:
1. Tính
theo a.
Ta có
;
Ta có
nên

Mặt khác:

Trong tam giác vuông
ta có

Nên

2.
Chứng minh

Ta có
. Giả sử



Do
thẳng hàng nên:
nên

Nên
và


Nên
nên
.







Câu 5
Cho các số dương a, b, c có a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Giải


Suy ra:

Tương tự
và

Cộng các vế tương ứng của ba BĐT cùng chiều ta được
,

khi a=b=c=1. KL