Lien quan KSHS-12

MỘT SỐ BÀI TOÁN
LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
LÖU PHÖÔÙC MYÕ 0914073006
Bài toán 1:
Söï töông giao cuûa caùc ñoà thò
(Tìm giao điểm của hai đường cong )
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C )
và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C1).
Hãy tìm các giao điểm của (C) và (C1).
Phương pháp chung :
B1: Phương trình hoành độ giao điểm cuûa (C )vaø(C1) laø :
f(x) = g(x) (1)
B2: Tính các giá trị của y0 ,y1…. tương ứng với
các giá trị x0 ,x1…. tìm được ở (1).
B3: Ghi các giao điểm (x0,y0) ; (x1,y1)…

Chú ý : Ta có thể làm ngược lại , có nghĩa là dưạ vào đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình f(x) =g(x).
Ví dụ 1: Chứng minh rằng đồ thị (C ) của hàm số
luôn luôn cắt đường thẳng (d) ; y = -x + m
với mọi giá trị của m.
Ta có : (C) luôn cắt (d) nếu phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:


Phương trình (2) có ? =m2 + 8 > 0,?m và x=-1 không thoả mãn (2) nên phương trình luôn có 2 nghiệm khác -1.
Vậy : (C) luôn cắt (d) tại 2 điểm phân biệt.
Ví dụ 2 :Chứng minh rằng đồ thị (C ) của hàm số
luôn luôn cắt đường thẳng (d) y = x - m tại hai
điểm phân biệt ,với mọi giá trị của m.
Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong đã cho là nghiệm của phương trình:


Phương trình (2) có ? =m2 -2m+9 > 0,?m và x=1 không thoả mãn (2) nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy : (C) luôn cắt (d) tại 2 điểm phân biệt.
Ví dụ 3: Cho đường cong (C ) : y=x3 - 4x2 + 4x và đường thẳng (d) : y = kx .
Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
(d) cắt (C)tại 3 điểm phân biệt


Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C ) là:
(1) có 3 nghiệm phân biệt


(2) có nghiệm phân biệt khác 0

4-(4-k)>0 và g(0)? 0
k > 0 và k ? 4

VÍ DỤ 4: Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 4x3 -3x - m = 0 (1)
LỜI GIẢI:
Biến đổi
4x3 -3x - m = 0 ?? 4x3 -3x = m
Vẽ (C) : y = 4x3-3x
và ? : y = m
m < -1 ?? (C) và ? có 1 giao điểm
Khi đó : PT (1) có 1 nghiệm đơn
(C)
Ta có : yCĐ = 1 ; yCT = -1
VÍ DỤ 4: Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 4x3 -3x - m = 0 (1)
LỜI GIẢI:
Biến đổi
4x3 -3x - m=0?? 4x3 -3x=m
Vẽ (C) : y = 4x3-3x
và ? : y = m
m = -1 ?? (C) và ? có 2 giao điểm
PT (1) có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép
(C)
Ta có : yCĐ = 1 ; yCT = -1
VÍ DỤ 4: Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 4x3 -3x - m = 0 (1)
LỜI GIẢI:
Biến đổi
4x3 -3x-m=0? 4x3 -3x= m
Vẽ (C) : y = 4x3-3x
và ? ? : y = m
-1?< m < 1 ?? (C) và ? có 3 giao điểm
PT (1) có 3 nghiệm đơn
(C)
Ta có : yCĐ = 1 ; yCT = -1
VÍ DỤ 4: Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 4x3 -3x - m = 0 (1)
LỜI GIẢI:
Biến đổi
4x3 -3x -m=0? 4x3 -3x=m
Vẽ (C) : y = 4x3- 3x
và ? ? : y = m
m = 1 ?? (C) và ? có 2 giao điểm
PT (1) có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép
(C)
Ta có : yCĐ = 1 ; yCT = -1
VÍ DỤ 4: Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 4x3 -3x - m = 0 (1)
LỜI GIẢI:
Biến đổi
4x3-3x - m=0? 4x3 -3x=m
Vẽ (C) : y = 4x3-3x
và ? ? : y = m
m > 1 ?? (C) và ? có 1 giao điểm
PT (1) có 1 nghiệm đơn
(C)
Ta có : yCĐ = 1 ; yCT = -1
VÍ DỤ 5: Với các giá trị nào của m, đường thẳng (d) : y = m cắt đường cong (C ) : y = x4 -2x2 -3 tại 4 điểm phân biệt.
Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d)và đường cong (C) là nghiệm của phương trình: x4 -2x2 - 3 =m
Hay : x4 -2x2 - m- 3 = 0 (1)
Đặt t = x2 với t ? 0 thì ta có : t2 - 2t - m - 3 = 0 (2)
(d) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt
(1) có 4 nghiệm phân biệt
?`>0 và t1 . t2 >0 và t1 + t2 >0
(2) có 2 nghiệm dương phân biệt
-4 < m < -3
?
?
?
?
VÍ DỤ 5: Với các giá trị nào của m, đường thẳng (d) : y = m cắt đường cong (C ) : y = x4 -2x2 -3 tại 4 điểm phân biệt.
Cách 2 : Đạo hàm y` = 4x3 -4x
Cực trị : f(-1) = f(1) = -4 ; f(0) = -3
Để (d) cắt ( C) tại 4 điểm phân biệt thì : -4 < m < -3
y` =0 ? 4x3 -4x = 0 ? x =0 ; x = 1 ; x = -1
Bài toán 2:
Söï tieáp xuùc cuûa hai ñöôøng cong
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C ) và hàm
số y = g(x) có đồ thị là (C1).
Hãy tìm ñieàu kieän ñeå (C) và (C1) tieáp xuùc vôùi nhau.
Định nghĩa:
Giả sử hàm số f và g có đạo hàm tại điểm x0.
Ta nói rằng hai đường cong y=f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau tại điểm M(x0;y0) nếu M là một điểm chung của chúng và hai đường cong dó tiếp tuyến chung tại M.
Điểm M được gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho.
Điều kiện:
Hai đường cong y=f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong:
Hoành độ tiếp điểm 2 đường cong là nghiệm của hệ phương trình:
Hệ số góc của tiếp tuyến chung tai M là y`(1/2)=2
Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó tại M là:
y=2(x-1/2) -5/4
Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau tại M(1/2 ; - 5/4)
Hay : y = 2x - 9/4
?
?
VÍ DỤ 1: Chứng minh rằng hai đường cong y=x3+ 5x/4 -2 và
y = x2 +x-2 tiếp xúc với nhau tại một điểm nào đó.
Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó tại tiếp điểm.
Hoành độ tiếp điểm 2 đường cong là nghiệm của hệ phương trình:
Hệ số góc của tiếp tuyến chung tai M là y`(1)=2
Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó tại M là:
y=2(x-1)
Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau tại M(1;0)
Hay : y = 2x - 2
?
?
VÍ DỤ 2: Chứng minh rằng hai đường cong y=x3 - x và
y =x2 - 1 tiếp xúc với nhau tại một điểm nào đó.
Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó tại tiếp điểm.
VÍ DỤ 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;-2) và tiếp xúc với parabol (P) : y =x2 - 2x
Hoành độ giao điểm của (d) và (P)là nghiệm của phương trình:
Phương trình đường thẳng(d) qua A với hệ số góc m là: y=m(x-1)-2
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của (P) qua A là :
y=2x- 4
Để (d) tiếp xúc (P) thì (1) phải có nghiệm kép.
x2 - 2x=m(x-1)-2
x2 -(m+ 2)x +m +2=0 (1)
?
? =(m+2)2 -4(m+2)=0
?
(m+2)(m-2)=0
?
m = - 2 hoặc m = 2
y=- 2x
và
VÍ DỤ 4: Tìm các hệ số a và b sao cho parabol (P): y = 2x2+ax+b tiếp xúc với hypebol (H) : y = 1/x tại điểm M(1/2 ; 2).
Điểm M thuộc (P)
Khi x = 1/ 2 thì y = 1 nên điểm M thuộc (H)
Vậy : với a = - 6 và b = 9/2 thì (P) và (H) tiếp xúc với nhau tại M.
Hệ số góc của tiếp tuyến của (H) tại M là : y`(1/2)= -4
2.(1/2)2 +a/2+b =2
?
(P) Tiếp xúc (H) tại M
?
a+2b=3 và a+2=-4
?
a = -6 và b = 9/2
?
a+2b=3
Hệ số góc của tiếp tuyến của (P) tại M là : y`(1/2)= a+2
Hoành độ tiếp điểm 2 đường cong là nghiệm của hệ phương trình:
Hệ số góc của tiếp tuyến chung tai M là y`(0)=3/2
Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó tại M là:
Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau tại O(0;0)
y = 3x/2
?
?
VÍ DỤ 5: Chứng minh rằng hai đường cong y=x2/2 + 3x/2 và
y =3x/ (x+2) tiếp xúc với nhau tại một điểm nào đó.
Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó tại tiếp điểm.
Phép biến đổi đồ thị
Với x ?1, phương trình hoành độ tiếp điểm của d và (C ) là:
Gọi A(x1;m) và B(x2;m) là hai giao điểm . Ta có :
AB=1
Đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi :
?
?
? > 0 ?(2m-3)2 - 4(2m+3) > 0 ?(2m-3)(2m+1) > 0
|x1-x2| =1
(x1-x2)2 =1
(x1+x2)2 - 4 x1x2 =1
?
?
?
(2m-3)2 - 4(3-2m) =1
?
?
Bài tương tự:1>Cho hàm số y = (x2 - 2x + 3)/(x+1) (C). Tìm m để đường thẳng d : y = - 2x+ m cắt đồ thị tại hai điểm A, B sao cho AB < 2 .
2> Cho hàm số y = (x2 - 2x - 3)/(x -2) (C). Tìm m để d : y = -m +x cắt (C)tại 2 điểm A,B.Tìm tập hợp các trung điểm M của AB khi m hay đổi..
2004A: Cho hàm số y = (-x2 +3x -3)/(2x-2) (C)
Tìm m để đường thẳng d : y = m cắt đồ thị tại hai điểm A, B sao cho AB = 1.
Cho hàm số y = (x - 2)/(x-1) (H)
Chứng minh rằng với mọi m? 0, đường thẳng d: y = mx - 3m cắt đường cong (H) tại 2 điểm phân biệt, trong đó có ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 2.
Cho hàm số y = (x - 1)2 /(x+1) có đồ thị là (C)
1> Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số.
2> Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x2 -(m+2)x -m + 1 = 0
Cho hàm số y = (x + 1)2 (x - 1)2 có đồ thị là (C)
1> Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số.
2> Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
(x2 -1)2 - 2m+1 = 0
Cho hàm số y = (x - 4)/ (1 - x ) có đồ thị là (H)
1> Khảo sát và vẽ đồ thị ( H ) của hàm số.
2> Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm (-1 ;0) có hệ số góc k.Biện luận theo k số giao điểm của (C ) và d.
Dự bị 2-2006A
Cho hàm số y = (x2 +x + 1)/ (x+1 ) có đồ thị là (H)
1> Khảo sát và vẽ đồ thị ( H ) của hàm số.
2> Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm (-1 ;0) và tiếp xúc với đồ thị (H).
Phương trình tiếp tuyến d qua M(-1;0) với hệ số góc k có dạng : y = k(x+1)
d tiếp xúc với (H) khi hệ phương trình sau có nghiệm:
Thay k vào ta có phương trình hoành độ tiếp điểm. Giải ra ta có x=1 và k = 3/4
BÀI LUYỆN TẬP THÊM
Hãy nhớ các phương pháp tiến hành cho mỗi dạng toán và luyện tập để được các kỹ năng cần thiết
Bài 1 :
Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số sau :


và
Giải :
Xét phương trình hoành độ giao điểm :
(1)
(2)

Biện luận :
1) m = 8.Phương trình (2) có dạng:
0x-19=0

Bài 2 :
a) Vẽ đồ thị hàm số
y = f(x) = x3 + 3x2 -2 (C )
b) Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phươnh trình
x3 + 3x2 – 2 = m (3)
Giải :
a) Đồ thị hs tự vẽ.
b) Số nghiệm của (3) chính là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị (C ) .Ta vẽ thêm đường thẳng y = m và tìm số giao diểm cuả để suy ra số nghiệm của (3)
Biện luận:
a) m > 2 : (3) có một nghiệm.
b) m = 2 : (3) có 2 nghiệm (một đơn , một kép).
c) -2 < m < 2 : (3) có 3 nghiệm.
d) m = -2 : (3) có hai nghiệm (một đơn , một kép).
e) m < -2 : (3) có một nghiệm.
BTVN :
1)Dùng đồ thị ,biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
x3 – 6x + 5 – m = 0 (1)
2) Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình :
mx2 – (3m + 1 )x + 2m = 0 (2)
Bài tập : 1 ,2 ,3 ,4 ,5 SGK trang 103,104