Liên hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm

Nguyễn Duy Chiến - THPT Phan Bội Châu
Trang bìa
Trang bìa:
Kiểm tra bài cũ
Bài 1:
Cho đường tròn (O) có bán kính OA = 4 cm , dây BC vuông góc với OA tại trung điểm của OA (xem hình bên). Khi đó:
BC = latex(2sqrt(5)) cm
BC = latex(8sqrt(3)) cm
BC = latex(2sqrt(3)) cm
BC = latex(4sqrt(3)) cm
Bài 2:
Cho đường tròn (O ; 13 cm) . Vẽ hai dây AB và CD với đường tròn . Kẻ OH vuông góc với AB tại H , gọi K là trung điểm của CD. a) Biết AB = 24 cm . Tính OH b) Biết OK = 5 cm . Tinh CD Giải a) Vì: OH latex(_|_) AB latex(rArr) HA = HB = latex(1/2)AB mà AB = 24 cm (gt) nên AH = HB = 12 cm Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông OAH OH = latex(sqrt(OA^2 - HA^2) = sqrt(13^2 - 12^2)) = 5 (cm) b) Vì K là trung điểm CD nên OK latex(_|_)CD Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ODK DK = latex(sqrt(OD^2 - OK^2) = sqrt(13^2 - 5^2)) = 12 (cm) mà CD = 2KD , nên CD = 2.12 = 24 (cm) Bài toán mở đầu
Bài toán: Hoạt động nhóm
Cho AB, CD là hai dây (khác đường kính) của đường tròn (O; R). Gọi OH, OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB, CD Chứng minh : latex(OH^2 + HB^2 = OK^2 + KD^2) Giải Áp dụng định lí Pitago vào các tam giác vuông OHB, OKD, ta có: latex(OH^2 + HB^2 = OB^2 = R^2) (1) latex(OK^2 + KD^2 = OD^2 = R^2) (2) Từ (1) và (2) suy ra: latex(OH^2 + HB^2 = OK^2 + KD^2) Nếu AB , CD là hai đường kính thì hệ thức trên còn đúng không ? vì sao ? Hệ thức trên vẫn đúng khi AB,CD là hai đường kính vì lúc này H,K trùng với điểm O , nên OH = OK = 0 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Định lí 1:
Sử dụng kết quả của bài toán trên để chứng minh rằng : a) Nếu AB = CD thì OH = OK b) Nếu OK = OH thì AB = CD Vì OH latex(_|_) AB nên HA = HB = latex(1/2)AB OK latex(_|_) CD nên KC = KD = latex(1/2)CD mà AB = CD nên HB = KD (1) Ta có: latex(OH^2 + HB^2 = OK^2 + KD^2) (2). Từ (1) và (2) suy ra OH = OK Tương tự nếu OH = OK thì HB = KD hay AB = CD Định lí 1 : Trong một đường tròn a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau Chứng minh: Minh họa liên hệ dây- khoảng cách đến tâm:
Định lí 2:
Sử dụng kết quả của bài toán trên để chứng minh rằng : a) Nếu AB > CD thì OH < OK b) Nếu OH < OK thì AB > CD Vì OH latex(_|_) AB nên HA = HB OK latex(_|_) CD nên KC = KD mà AB > CD nên HB > KD (1) Ta có: latex(OH^2 + HB^2 = OK^2 + KD^2) (2). Từ (1) và (2) suy ra OH < OK Tương tự nếu OH < OK thì HB > KD hay AB > CD Định lí 2 : Trong hai dây cuả một đường tròn: a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn Chứng minh Bài tập áp dụng:
Hãy điền dấu <, >, = thích hợp vào chỗ ......, Cho đường tròn tâm O, hai dây PQ, RS. Hạ OH _|_ PQ, OK _|_ RS. Khi đó:
a) OH = OK latex(iff) PQ ||=|| RS b) OH ||>|| OK latex(iff) PQ < RS c) PQ > RS latex(iff) OH ||< ||OK Bài tập vận dụng
Bài tập 1:
Cho AB , CD , MN là ba dây của đường tròn (I , 4 cm) . Biết AB = 3 cm , CD = 5 cm , MN = 5 cm . Gọi IH , IK , IE lần lượt là các khoảng cách từ I đến các dây AB , CD , MN .Trong các câu trả lời sau , câu nào đúng ?
IK = IE > IH
IK = IH > IE
IH > IE = IK
IH = IE > IK
Bài tập 2:
Cho tam giác ABC, O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ; D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, AC (xem hình bên). Biết OD > OE, OE = OF, trong các trả lời sau, những câu nào đúng ?
BC = AB > AC
AC = BC > AB
AC > AB = BC
BC > AC = AB

Bài tập 3:
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) ; D,E,F lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , AC ( xem hình bên) . Biết góc A > góc B > góc C , trong các trả lời sau , câu nào đúng ?
OE < OD < OF
OF < OE < OD
OE < OF < OD
OD < OF < OE
Bài tập 4:
Cho điểm A nằm trong đường tròn (O) . Chứng minh rằng dây cung vuông góc với bán kính của đường tròn tại điểm A là dây có độ dài nhỏ nhất . Giải Vẽ dây CB latex(_|_)OA tại A Kẻ dây XY bất kì đi qua điểm A. X Y Vẽ OH latex(_|_)XY H Do OH latex(_|_)XY, mà A latex(in) XY latex(=> OH <= OA) do đó latex(CB <= XY) Vậy CB là dây có độ dài nhỏ nhất trong tất cả các dây của đường tròn đi qua A . Hướng dẫn về nhà:
- Học các định lí về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây - Làm bài tập 12,13,14 trang 106 - SGK