Lịch sử

Nhóm 2
BÀI TẬP
CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
PHẦN I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG VUÔNG GÓC
1. Phương pháp 1: Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định nghĩa hai đường vuông góc: Hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc và kí hiệu là xx’  yy’.

Phương pháp: Để chứng minh hai đường vuông góc thực chất ta chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau đó bằng 900.
- Dựa vào tính chất tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800, ta đi chứng minh cho tam giác có hai góc phụ nhau suy ra góc thứ ba bằng 900.
- Chứng minh góc đó là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì góc đó có số đo bằng 900.
- Chứng minh tổng các góc tạo thành góc cần chứng minh bằng 900.
2. Phương pháp 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào tính chất song song của đường thẳng trong mặt phẳng.
Phương pháp:
- Ta dựa vào tính chất: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.
3. Phương pháp 3: Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định lí nhận biết một tam giác vuông:
Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta tìm cách gán hai đường thẳng đó trở thành hai đường thẳng chứa hoặc song song với hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Để chứng minh ta dựa vào định lí nhận biết sau:
- Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông (định lí Pitago đảo)
- Nếu một tam giác có trung tuyến thuộc một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông (định lí đường trung tuyến ).
4. Phương pháp 4: Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định nghĩa và tính chất các đường trong tam giác và trong hình học phẳng.
Phương pháp:
- Định nghĩa 3 đường cao trong tam giác: Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.
- Tính chất ba đường cao trong tam giác: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm.
- Định nghĩa đường trung trực của một đoạn thẳng: Đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
- Tính chất tam giác cân, tam giác đều: Trong một tam giác cân (tam giác đều), đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.
- Tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù: Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau.
- Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

ABC vuông tại A

5. Phương pháp 5: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào đường tròn và các yếu tố trong đường tròn.
Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta dựa vào các định lí và các tính chất có liên quan đến đường tròn .
- Tính chất đường kính của đường tròn đi qua trung điểm của một dây cung hoặc đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung đó.
- Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì có số đo bằng 900.
- Tính chất: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính tại tiếp điểm .
- Tính chất hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm ở ngoài đường tròn thì đường thẳng đi qua điểm đó và tâm đường tròn phải vuông góc với dây cung nối hai tiếp điểm.
6. Phương pháp 6: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào định lí 4 điểm.

Định lí: Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau khi và chỉ khi tổng bình phương của hai cạnh đối diện bằng nhau.
Như vậy muốn chứng minh hai đường thẳng AC và BD vuông góc với nhau, ta cần chứng minh:
AB2 + CD2 = AD2 + BC2 và ngược lại.
PHẦN II. BÀI TẬP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG VUÔNG GÓC.
1.Cho tam giác ABC vuông tại A (AB đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng của
B qua H. Đường tròn tâm O đường kính
CD cắt AC ở E. Chứng minh rằng HE là tiếp
tuyến của đường tròn (O).
Phân tích
Hướng dẫn giải(tt)
Để chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn (O) ta cần chứng minh điều gì?

Hướng dẫn giải(tt)
Hướng dẫn giải(tt)
Gọi K là trung điểm của AE, để chứng minh AHE là tam giác cân ta làm như thế nào ?
Trả lời:
Chứng minh AKH = EKH
Có những trường hợp cụ thể nào để chứng minh AKH = EKH ?
Trả lời: (c-c-c), (c-g-c), (g-c-g).
Gọi K là trung điểm của AE
Xét HAE:
Ta có: AKH = EKH (c-g-c)
Suy ra AH = HE.
Giải:
Cách 2:
Chứng minh OHF = OHE
Xét OHF và OHE có:
OE = OF (bán kính) (1)
OH là cạnh chung (2)
OE = OF nên:
O thuộc đường trung trực của EF
J thuộc đường trung trực của EF
 OJ  EF

Kẻ tiếp tuyến HF của đường tròn (O) (F ≠ E)

Từ (1), (2), (3) suy ra OHF = OHE (c-g-c)

Vì OEF cân tại O nên OJ là đường cao đồng thời là đường phân giác.
Cách 3: Chứng minh dựa vào tính chất song song của đường thẳng.
Kẻ cát tuyến qua C của (O) và song song với OE.
Hai cát tuyến này cắt nhau tại G
Kẻ cát tuyến qua D của (O) và song song với HE.
HE  GC = M và HM // DG  HM  CG.
Mặt khác: OE // CG  OE  HM hay OE  HE.
Vậy HE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
2. Cho hai đường tròn (O; R), (O’; r) tiếp xúc ngoài tại T.Vẽ tiếp tuyến tại T cắt tiếp tuyến chung AB của OO’ tại K.Chứng minh AT vuông góc BT.
Phân tích
Hướng dẫn giải
Nếu ABT có và KT là trung tuyến thì ta khẳng định điều gì?
Trả lời: ATB là vuông tại T
Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có được điều gì ?
Trả lời: KA = KT; KB = KT
Nếu KA=KB thì đường thẳng KT là gì của ATB ?
Trả lời: KT là đường trung tuyến ATB.
 KA = KB
 KT là đường trung tuyến ATB (1)
KT = (2)
Từ (1),(2) ATB là vuông tại T
Vậy AT vuông góc BT
Giải:
Ta có:
KA = KT (T/C hai tiếp tuyến cắt nhau)
KB = KT (T/C hai tiếp tuyến cắt nhau)
3. Cho tam giác vuông ABC và đường cao CH vẽ từ đỉnh góc vuông C đến cạnh huyền AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn CH và BH .
Chứng minh rằng: AM  CN
Phân tích
Hướng dẫn giải
3) Qua đó ta thấy được điều gì?
Trả lời: Do BC  AC mà MN // BC nên MN  AC.
Vậy đường thẳng MN chứa đường cao xuất phát từ đỉnh N của ACN.
1) Dựa vào đề bài ta có được điều gì?
Trả lời: M, N là trung điểm của CH và BH. CH là đường cao của ABC.
2) Dựa vào đó MN và BC có mối quan hệ gì?
Tại sao?
Trả lời: MN // BC vì MN là đường trung bình của CHB.
Hướng dẫn giải(tt)
5) Từ những điều trên ta kết luận được điều gì?
Trả lời: AM  CN.
4) Trong ACN ta có CH là đường cao, vậy điểm M là điểm gì?
Trả lời: M là trực tâm của ACN do M là giao điểm của 3 đường cao trong ACN.
Từ (1) và (2)  M là trực tâm của ACN
Vậy AM  CN
Giải.
Ta có:
MN là đường trung bình của CHB
 MN // BC
Mà BC  AC
Do đó MN  AC (1)
CH  AN (2)
Đặc biệt hóa: Trường hợp ABC là tam giác vuông cân.
CM: AM  CN
Xét CAM và CBN
Ta có MC = NB
AM = CN (vì ACH = HCB)
CA = CB
 CAM = CBN
(*)

Từ (*) , (1 ) và (2)
Mà
hay AM  CN
Mặt khác
(1)
(2)
4.Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi K, M lần lượt là trung điểm của HC và AD. Chứng minh rằng BK vuông góc với KM.
Phân tích
Hướng dẫn giải
Chứng minh dựa vào tính chất song song
- Trong tam giác AKB kẻ đường cao KI cắt BH tại E, suy ra E là trực tâm tam giác AKB
? Vậy AE và BK như thế nào?
HS: AE vuông góc với BK. (1)
Ta có KI song song AD và KI song song BC.
? Vậy KE như thế nào với BC?
HS: KE song song BC và bằng một nửa BC.
? Vậy KE như thế nào với MA?
HS: KE song song và bằng MA.
? Ta suy ra được đều gì?
HS: AE song song với MK (2)
Từ (1) và (2) Suy ra MK vuông góc BK
? Vậy tứ giác MAKE là hình gì?
HS: MAKE là hình bình hành.
Hướng dẫn giải
Giải
Trong ∆AKB kẻ đường cao KI cắt BH tại E thì E là trực tâm của ∆AKB.
 AE  BK. (1)
Ta có: KI // AD và KI // BC (vì KI  AB)

 KE // BC và KE =

 KE // MA và KE = MA
Do đó tứ giác MAKE là hình bình hành.
Từ đó suy ra AE // MK (2)
 MK  BK (đpcm)
5.Cho tam giác cân ABC, gọi H là trung điểm của BC và E là hình chiếu của H trên AC. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh AO vuông góc với BE.
Phân tích
Gợi ý
Ta có AH  HC, từ đó suy ra điều gì ?
HE có vuông góc với AC không, vì sao ?
Điểm O là gì trong AHK ?
Dựa vào đường trung bình của BEC, ta kết luận được điều gì?

Tìm đường trung bình của HEC
Tìm đường trung bình của BEC
Giải
Gọi K là trung điểm của EC.
Ta có :
HK là đường trung bình của BEC nên HK // EB (1)
Trong EHC ta cũng có OK là đường trung bình
nên OK // HC (2)
Mà AH  HC (giả thiết ) (3)
Từ (2) và (3) ta có AH  OK (*)
Lại có HE  AC (vì E là hình chiếu của H trên AC) (**)
Từ (*) , (**) suy ra O là trực tâm của AHK
AO  HK (4)
Từ (1) và (4) suy ra AO  BE
Bye bye!