Làm quen với HH tọa độ & HH giải tich

Làm quen với Hình học tọa độ & Hình học giải tích
Xin giới thiệu với các bạn 25 câu hỏi đáp về hình học trong sách “Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử” (A.L. Audichya) dành cho những người không chuyên nghiên cứu toán học nhưng muốn tìm kiếm những thông tin hỏi nhanh đáp gọn và không muốn sa vào các chi tiết các khái niệm chuyên sâu của toán học.
Hình học tọa độ là gì?
Hình học tọa độ* là lĩnh vực nghiên cứu hình học bằng phương pháp đại số.
Hình học tọa độ khai thác có hệ thống thực tế là có một sự tương ứng tự nhiên giữa các số thực và các điểm trong không gian.
Lấy một điểm O bất kì nằm trên một đường thẳng. Gọi nó là gốc tọa độ, tức là điểm xuất phát cho mọi phép đo dọc theo đường thẳng đó. Khi ấy, mỗi số thực tương ứng với một điểm trên đường thẳng đó, và ngược lại. Số thực đó được gọi là tọa độ của điểm tương ứng.


Xét hai đường thẳng vuông góc nhau, gọi là hai trục tọa độ, Ox và Oy, cùng đi qua gốc tọa độ O. Khi ấy, vị trí của một điểm P bất kì trong mặt phẳng được xác định bởi khoảng cách x1 đến đường thẳng đứng Oy và khoảng cách y1 đến đường nằm ngang Ox. Cặp số thực theo trật tự (x1, y1) xác định điểm P trong mặt phẳng, và được gọi là tọa độ của nó.


Hình học tọa độ còn được gọi là hình học giải tích hay hình học tọa độ Descartes để tôn vinh người phát minh ra nó, Rene Descartes.
Phải chăng hình học tọa độ là một công cụ mạnh hơn hình học bình thường?
Sức mạnh của hình học tọa độ nằm ở thực tế nó nghiên cứu các đối tượng hình học bằng phương pháp đại số.
Khái niệm tọa độ biến những bài toán hình học thành những bài tính toán theo các đại lượng đại số.
Và các phép tính đại số thì dễ làm hơn là các chứng minh hình học liên quan rất nhiều đến trực giác và kinh nghiệm với các hình vẽ và sơ đồ!
Vì thế, hình học tọa độ xứng đáng được tôn vinh là đã “giải phóng hình học khỏi lệ thuộc vào hình vẽ”.
Làm thế nào giải phóng hình học khỏi lệ thuộc vào hình vẽ?
Bằng phương pháp tọa độ, các phương trình đại số đơn giản bậc nhất theo hai biến x và y có được ý nghĩa trực quan và chúng biểu diễn cho những đường thẳng sao cho việc nghiên cứu các đối tượng hình học gọi là đường thẳng được thực hiện thông qua việc nghiên cứu những phương trình như thế. Phương pháp này dễ làm hơn và đáng làm hơn!


Phương trình 2x + 3y = 6, hoặc tương đương là x/3 + y/2 = 1, thu được bằng cách chia hai vế phương trình cho 6, được biểu diễn trực quan bởi đường thẳng AB.
Tương tự, phương trình khái quát cho đường thẳng có dạng như sau
ax + by + c = 0
Các phương trình đại số bậc hai theo hai biến x và y biểu diễn các đường cong trong một mặt phẳng.
Đó là những đường cong nào?
Quen thuộc nhất trong những đường cong như thế là đường tròn, đường parabol, đường elip và đường hyperbol. Một biểu diễn hình học của mỗi đường cong cùng với phương trình của nó được cho bên dưới.





Các đường conic là gì?
Giao tuyến của một hình nón với những mặt phẳng khác nhau được gọi là các đường conic.


Nếu một mặt phẳng cắt qua một hình nón vuông góc với trục của nó thì giao tuyến là một đường tròn.
Nếu mặt phẳng cắt xiên với trục hình nón thì giao tuyến thu được là đường elip.
Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh của hình nón thì giao tuyến là đường parabol.
Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón hai lần thì ta thu được đường hyperbol.
Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón hai lần và đồng thời đi qua đỉnh nón, thì ta thu được một cặp đường thẳng xuyên đỉnh.


Tính phản xạ của parabol có ý nghĩa gì?
Parabol có một tính chất nổi bật là nếu đặt một nguồn sáng tại tiêu điểm S của nó, thì toàn bộ các tia sáng đi ra từ S, sau khi phản xạ tại parabol, truyền đi song song với trục của nó.
Tính chất này được gọi là tính phản xạ của parabol.


Chính vì tính chất này mà các gương lắp phía sau đèn trước xe hơi được chế tạo có hình paraboloid, tức là hình dạng được tạo ra bằng cách quay parabol xung quanh trục của nó.
Gương parabol giúp người lái xe nhìn thấy xa hơn về phía trước.
64. Tính chất âm học của parabol là gì?
Các tia sáng đi ra từ tiêu điểm