Kỳ vọng _ Phương sai

CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BiẾN NGẪU NHIÊN
I.KỲ VỌNG

1.Vd1: Một bình có 10 viên bi, trong đó có 2 bi loại một, mỗi viên nặng 50gam; 3 vên loại hai, mỗi viên nặng 40gam và 5 viên loại ba mỗi viên nặng 30gam.
a) Tính trọng lượng trung bình của một viên.
b) Gọi X là bnn chỉ trọng lượng của mỗi viên được lấy. Lập bảng ppxs của X.
c)Tính tổng các tích các giá trị của biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng, rồi so sánh kết quả với câu a.
Người ta gọi số tìm được ở câu c) là kỳ vọng của bnn X.
2. Định nghĩa
ĐN: Giả sử X là bnn có bảng ppxs:



Kỳ vọng của bnn X là một số, kí hiệu là E(X) hay M(X), được xác định bởi
EX= x1p1 +x2p2+…+xkpk+…+xnpn
Số này còn được gọi là giá trị trung bình của bnn X.
3.Ví dụ
3.Vd2: Hai người A và B chơi trò gieo một con xúc xắc ăn tiền theo luật sau:
Nếu xuất hiện một trong các mặt 2,3,4,5 chấm thì B đưa cho A số tiền là 9 nghìn đồng.
Nếu xuất hiện mặt 1 chấm hoặc 6 chấm thì A đưa cho B số tiền bằng 6 lần số chấm xuất hiện trên mặt xúc xắc. Tính số tiền trung bình mà A có thể nhận được sau mỗi ván.(Nên chọn là A hay B?)
4. Các tính chất của kỳ vọng

a) Giả sử C là hằng số, ta có thể xem C là bnn có giá trị C, xác suất là 1. Khi đó bảng ppxs là

Tính E(C)=?
b) Biết bảng ppxs của X
Lập bảng ppxs của CX
Tính E(CX)=?
* Viết lại các t/c của kỳ vọng!
c)Kỳ vọng của tổng
Giả sử X, Y là hai bnn có bảng ppxs là




Khi đó ta có quy luật ppxs của tổng X+Y như sau





Trong đó pij là xác suất để tổng X+Y nhận giá trị xi+yj.
pi= pi1+pi2+…+pim; qj=p1j+p2j+…+pnj.
Tính E(X+Y)=?
PHƯƠNG SAI

1.Vd: Hai hộ gia đình A và B làm nghề kinh doanh với lãi suất hàng tháng trong năm cho ở bảng sau:(XA,XB là số tiền lãi trong tháng của gia đình A,B tính theo đơn vị triệu đồng)



a). Tính E(XA); E(XB) (mức thu nhập trung bình một tháng của gia đình A;B)
b). Nhận xét gia đình nào có mức độ giao động của tiền thu nhập hàng tháng so với kỳ vọng là lớn hơn.
2. Phương sai:

ĐN: Phương sai của bnn X, kí hiệu D(X) hay V(X) là kỳ vọng của bình phương sai lệch của bnn so với kỳ vọng của nó.
D(X)=E[X-E(X)]2
Nếu X là bnn có bảng ppxs

Và có kỳ vọng E(X)=a thì
D(X) = (x1-a)2p1+(x2-a)2p2+…+(xn-a)2pn
Chú ý: Trong thực hành ta thường tính phương sai theo công thức D(X)=E(X2)-(EX)2
3. Vd: Tính D(XA); D(XB) ở Vd trên và so sánh chúng.
4. Tính chất của phương sai

Sử dụng định nghĩa để chứng minh
a) D(C)=0
b) D(CX)=C2D(X)
Ngoài ra nếu X, Y là hai bnn độc lập thì D(X+Y)=DX+DY.
5. Ứng dụng của phương sai
Vd: Một nhà đầu tư đang cân nhắc giữa việc đầu tư vào hai dự án A và B trong hai lĩnh vực độc lập với nhau. Khả năng thu hồi vốn sau 2 năm(tính bằng %) của hai dự án là các Bnn có ppxs như sau:







Từ các bảng trên ta có: E(XA)=69,16%; E(XB)=68,72%
V(XA)=3,0944; V(XB)=1,8016. Với tư cách là nhà tư vấn hãy cho lời khuyên?