Kinh nghiem Toan THCS

phổ biến
*****

kinh nghiệm môn toán
bậc THCS
*******

Tác giả: Lê Văn Ngụ
Quỳ Hợp ngày 20/3/2008
_________
Kinh nghiệm

Phát triển trí thông minh, sáng tạo qua việc giải toán hình học
*****

Mục lục
1. Đặt vấn đ? Trang 2
2. Nhận thức mới biện pháp mới Trang 3
3. So sánh kết quả Trang 9
4. Bài học kinh nghiệm Trang 10

I.§Æt vÊn ®Ò
******
Mục tiêu giáo dục của Đảng ta là Đào tạo nhân lực, bồi dưỡng dân trí, phát triển nhân tài. Để đáp ứng được mục tiêu đó nghành giáo dục phải thật sự chăm lo nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện. Trong những năm học gần đây sự nghiệp giáo dục đã và đang được đổi mới, đặc biệt là phương pháp dạy học "lấy học sinh làm trung tâm".
Trong các môn học trong nhà trường phổ thông, một trong những môn học cơ bản là "Toán học" đóng góp phần lớn trong việc phát triển tư duy và hình thành nhân cách cho học sinh. Là một giáo viên toán tôi luôn luôn cố gắng tìm tòi, đúc rút kinh nghiệm, cải tiến phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng dạy học môn toán. Đặc biệt là phát triển trí thông minh, sáng tạo, tìm tòi, khám phá từ đó tạo cho các em lòng say mê hứng thú trong việc học toán.
Để đáp ứng yêu cầu trên, trong phạm vi của kinh nghiệm này tôi xin trình bày hướng khai thác một bài toán hình, làm nổi bật tính "động", một đặc tính vốn có của bộ môn hình học.
Môn toán là môn thu hút khá nhiều học sinh yêu thích, không chỉ vì môn toán là một bộ môn khoa học cơ bản, mà chính bản thân môn toán có hấp dẫn, thu hút mọi người vì chính đặc trưng riêng của mình. Bởi vậy giáo viên dạy toán có ưu thế ban đầu rất lớn bởi vì số học sinh yêu thích môn này rất đông. Song cũng chính nắm bắt được nhu cầu này mà thị trường sách bài tập toán (sách phát triển, sách chuyên đề, sách nâng cao,.) tràn ngập, như đã trình bày ở trên. Vấn đề này cũng có mặt lợi (xin không bàn đến), song cũng có những hạn chế cho việc dạy và học cuả thầy và trò.
Một số V?n D? cần được giải QUY?T trong việc dạy học toán hiện nay
Thứ nhất là làm cho học sinh khó khăn trong việc chọn cuốn sách phù hợp, đáp ứng trực tiếp việc hỗ trợ kiến thức cơ bản trong SGK mà các em đã tiếp thu ở trường.
Thứ hai là đối với thầy giáo ỷ lại lượng bài tập trong các tài liệu này, khi cần thì đem ra cung cấp bài tập cho học sinh, vì thế mà quên đi việc khai thác tiềm năng vô cùng to lớn và bổ ích của các bài tập trong SGK.
Trong công việc giảng dạy của một ngươì thầy giáo nói chung hiện nay, thầy giáo dạy môn toán nói riêng thông thường thì chỉ trình bày các bài dạy theo nội dung sách giáo khoa, vì nhiều nguyên nhân khác nhau mà ít người chịu khó đầu tư khai thác các ý trong SGK, đặcbiệt trong bộ môn toán các bài tập chưa được giáo viên " khai thác" một cách triệt để mà qua đó giáo viên có thể đưa ra những bài tập mới gợi ý cho các em định hướng tự học, tự luyện tập ở nhà tên cơ sở bài tập đã làm tạo cho học sinh hứng thú tìm tòi khoa học và yêu thích bộ môn toán.
Sỡ dĩ mắc tình trạng trên do nhiều nguyên nhân khác nhau, những nguyên nhân dễ thấy đó là :
1. Do năng lực của giáo viên ( biết nhưng chưa làm được)
2. Do giáo viên chưa chú ý việc làm này. Hoặc do chưa hiểu được tác dụng của nó, trong khi đó thị trường sách bài tập toán tràn lan, lại càng làm cho giáo viên không để tâm đến việc xây dựng những bài toán mới từ những bài toán đã cho.
Tình trạng thường gặp của giáo viên trong việc dạy tiết luyện tập nói chung và trong việc giải các bài toán cụ thể cho học sinh nói riêng đó là giúp cho học sinh giải hoàn thành bài tập đó coi như là xong. Nếu giáo viên có năng lực thì cũng ở mức độ giúp các em tìm ra cách giải khác nhau đối với bài toán đó.
Theo tôi nghĩ trong việc dạy và học toán của thầy và trò, thì công việc tìm lời giải trọn vẹn một bài toán, và các lời giải khác nhau đối với bài toán đó, là yêu cầu tối thiểu, hay là công đoạn không thể thiếu được trong việc giải toán. Điều cần thiết tiếp bước công đoạn này là gì ?. Cách làm như thế nào ?. Đây là vấn đề tôi muốn đề cập trong kinh nghiệm nhỏ này mong muốn đưa ra cùng đồng nghiệp tham khảo và trao đổi.
II. Nhận thức và một số giải pháp mới
Các bài toán trong sách giáo khoa, các bài toán trong sách bài tập là những bài toán chọn lọc có tác dụng thiết thực cho học sinh qua việc giải các bài tập này. Do vậy nếu giáo viên nghiên cứu kỹ nội dung các bài toán này, thay đổi một số giả thiết tạo nên một bài toán mới thì rất bổ ích cho các em bởi vì:
Thứ nhất là từ một bài toán mà các em đã biết lời giải, các em sẽ dễ hiểu bài toán mới và dễ dàng hơn trong việc định hướng lời giải
Thứ hai là qua việc làm này gây được hứng thú cho học sinh say mê học toán và một điều quan trọng là các em được trực tiếp thấy được tính " động" trong các bài toán hình. Qua đó tạo cho các em biết cách tự nghiên cứu đây cũng là một định hướng tự học bổ ích của các em đáp ứng yêu cầu đổi mới của phương pháp giảng dạy.


Thứ ba là với cách làm này chúng ta đã bổ sung cho sách giáo khoa và sách bài tập những bài toán bổ ích. Thiết thực hỗ trợ các bài tập trong SGK và trong SBT về việc củng cố lý thuyết và rèn luyện kỹ năng thực hành

Theo tôi suy nghĩ ngoài những bài tập trong SGK và trong sách BT, giáo viên nên lựa chọn thêm một số bài tập điển hình (Căn cứ là loại bài tập có tác dụng tốt trong việc vận dụng, cũng cố kiến thức đã học và rèn luyện kỹ năng) và cũng từ đó đưa ra các bài toán mới, để làm phong phú hơn lượng bài tập. Góp phần nâng cao chất lượng trong việc dạy và học của thầy và trò.
Sau đây một số ví dụ trình bày về nội dung cách làm này :
Bài toán 1.1 Cho đoạn thẳng AB, lấy điểm C bất kỳ trên đoạn thẳng AB (C không trùng với A và B). Vẽ các tam giác đều ANC và tam giác đều CMB trên cùng một nữa mặt phẳng bờ AB. Lấy điểm I và K lần lượt là trung điểm của AM và BN. Chứng minh tam giác ICK đều.

Nhận xét: Đây là một bài toán hay và rất quen thuộc đối với học sinh lớp 7.
Hình vẽ bên (Để kinh nghiệm trình bày được ngắn gọn, xin phép không trình bày lời giải)
Đối với học sinh lớp 7 để chứng minh tam giác CIK đều thì các em có thể xét sự bằng nhau của ?ACM và ?NCB, từ đó suy ra được ?ICK cân tại C và các em chứng minh được góc ICK bằng 60 độ? ? ICK đều
Hướng khai thác bài toán:
Theo cách chứng minh trên để chứng minh được ? ICK cân tại C thì ta chỉ cần chứng minh ?ACM = ?NCB mà việc chứng minh hai tam giác này bằng nhau, thì ta chỉ cần có điều kiện ? ACN và ? BCM là hai tam giác cân tại C và có góc ở đỉnh C bằng nhau. Từ nhận xét này ta có các bài toán sau:
Bài toán 1.2
Cho đoạn thẳng AB, lấy điểm C bất kỳ trên đoạn thẳng AB (C khác với A và B) . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác cân tại C là ?ANC và ? CMB, sao cho góc NCA bằng góc MCB ( góc NCA < 90 độ ). Lấy điểm I và K lần lượt là trung điểm của AM và BN.
Chứng minh
a.? ICK cân tại C và góc ICK bằng góc ở đỉnh của hai tam giác cân đã vẽ ở trên .
b. Góc NCA =? thì ?ICK đều.

Nhận xét bài toán:
Đây là một bài toán có nội dung tổng quát hơn, câu b là nội dung của bài toán 1
Hướng chứng minh:
Tương tự cách chứng minh bài toán 1.
Khi các em chứng minh được ?ICK cân và góc ICK bằng góc CAN vậy để ?ICK đều ta phải có góc ICK bằng 60 độ ? góc NCA = góc MCB bằng 60 độ. Đây chính là nội dung bài toán 1.
Hướng khai thác tiếp:
Vẫn nội dung bài toán trên bây giờ ta xét góc NCA bằng góc MCB bằng góc 90 độ ta có nội dung bài toán mới như sau:
Bài toán 1.3 Cho đoạn thẳng AB, lấy điểm C bất kỳ trên đoạn thẳng AB (C khác với A và B). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác cân tại C là ?ANC và ? CMB, sao cho góc NCA bằng góc MCB bằng góc 90 độ. Lấy điểm I và K lần lượt là trung điểm của AM và BN. Chứng minh ? ICK vuông cân tại C.

Nhận xét: + Khi góc CAN bằng góc MCB vẽ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB thì tia CN trùng tia CM (Hình bên)
+ Việc chứng minh bai toán này cũng hoàn toàn tương tự các bài toán trên. Điều đáng chú ý ở đây là học sinh phải phát hiện được hai tam giác bằng nhau (?ACM = ?NCB). Trên thực tế khi không có dẫn dắt như trên thì học sinh cho rằng bài toán này không có mối liên hệ gì với các bài toán trên, và như thế thì chắc chắn các em không thể tìm ra được mối liên hệ lý thú như chúng ta đã thấy.


Hướng khai thác
Cũng nội dung bài toán trên lúc này ta cho 90 độ < gócNCA = góc MCB < 180độ . Lúc này ta được một bài toán mới.
Bài toán 1.4 Cho đoạn thẳng AB, lấy điểm C bất kỳ trên đoạn thẳng AB (C không trùng với A và B). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác cân tại C là ?ANC và ? CMB, sao cho 90 độ< gócNCA = góc MCB < 180 độ . Lấy I và K lần lượt là trung điểm của AM và BN.
Chứng minh ? ICK cân tại C và góc ICK bằng góc ở đỉnh của hai tam giác cân đã vẽ ở trên.

Nhận xét: Xét về phương pháp giải thì hoàn toàn tương tự các bài trước. Song hình vẽ thì đã hoàn toàn mới (hình dưới). Do đó việc xét hai tam giác bằng nhau ở trên hình này về vị trí đã hoàn toàn khác. Để các em có được sự vận dụng ở những bài toán trước, cần ở các em một tư duy lôgic và vận dụng sáng tạo bài toán đã giải. Bởi vậy sẽ làm tăng tính hấp dẫn đối với các em hơn.
Hướng chứng minh: (hình dưới)
Chứng minh ?ACM = ?NCB (theo trường hợp C-G-C) và các bước chứng minh tiếp cũng hoàn toàn tương tự việc chứng minh các bài toán trên (Trong trường hợp này học sinh dễ nhận thấy cặp cạnh bằng nhau còn cặp góc xen giữa thì học sinh khó nhận thấy hơn.)

Hướng khai thác tiếp: Chúng ta tiếp tục thay đổi vị trí tương đối của hai cạnh tương ứng với góc ACN và gócMCB chúng ta sẽ tiếp tục được các bài toán mới:
Bài toán 1.5 Cho đoạn thẳng AB, lấy điểm C bất kỳ trên đoạn thẳng AB (C không trùng với A và B). Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CA = CN. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = CB . Lấy I và K lần lượt là trung điểm của AM và BN. Chứng minh CI = CK

Nhận xét Đây là một bài toán đặc biệt của các bài toán trên, ở trường hợp này các tam giác suy biến trở thành các đoạn thẳng (Hình trên: ?ANC ? đoạn thẳng AN. ? CMB ? đoạn thẳng BM ). Một điều đặc biệt là tất cả các đoạn thẳng này đều nằm trên một đường thẳng.

Bài toán1.6 Cho đoạn thẳng AB, lấy điểm C bất kỳ trên đoạn thẳng AB (C không trùng với A và B). Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là AB, lấy các điểm N và M sao cho ?ANC và ? CMB cân tại C và góc NCA bằng góc MCB. Lấy điểm I và K lần lượt là trung điểm của AM và BN. Chứng minh CK=CI.
Nhận xét: Trong khi giải bài toán này (Hình 1.6) để chứng minh ?ACM = ?NCB học sinh thường mắc sai lầm cho rằng: Góc BCN bằng góc ACM là do đối đỉnh. Đối với bài toán này, để chứng minh được gócBCN bằng gócACM các em chỉ cần so sánh các tổng: góc NCA + góc NCB và góc BCM + góc ACM từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Như vậy từ một bài toán, theo cách làm như trên chúng ta đã phát triển thành 6 bài toán có nội dung bổ ích, hấp dẫn các em học sinh nói chung và những em yêu môn toán nói riêng.



Bài toán 2.1 Cho ?BAC (Â = 1 v ) có cạnh AC>AB. Đường cao AH. Trên nữa mặt phẳng chứa điểm B có bờ là AC, dựng tia Cx sao cho gócACB = gócBCx. Vẽ đường thẳng AK ? Cx (K ? Cx), AK cắt BC tại I. Chứng minh: ?BAI và ? AHK cân .

Hướng chứng minh (hình bên)
+ Để chứng minh ?BAI cân tại A, hướng dẫn các em so sánh gócABC và gócBIA để làm được việc này các em cần vận dụng các góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau, góc đối đỉnh và sử dụng giả thiết gócACB = gócBCx
+ Để chứng minh ?AHK cân, hướng dẫn học sinh kẻ đường thẳng qua AH cắt Cx tại D. Chứng minh được KH là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông ( gócAKD = 1 v), từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Nhận xét Trong điều kiện bài toán cho ?ABC vuông ( gócA = 1v) có AC >AB . bây giờ chúng ta khai thác điều kiện giá trị độ dài của hai cạnh AC và AB theo các trường hợp sau AB = AC; AB> AC ta có nội dung các bài toán sau:
Bài toán 2.2 Cho ?BAC vuông cân tại A , đường cao AH. Trên nửa mặt thẳng chứa điểm B có bờ là AC, dựng tia Cx sao cho gócACB = gócBCx đường thẳng AH cắt Cx tại D. Chứng minh ?ACD vuông cân tại C.

Nhận xét:
Việc chứng minh bài toán này không khó, song điều mà giáo viên cần chú ý ở đây là mối liên hệ giữa bài toán bài toán này và bài toán 2.1. Giáo viên gợi ý để học sinh thấy được ở bài toán 2.1 khi cạnh AC giảm dần đến khi độ dài của nó bằng độ dài của cạnh AB, lúc đó điểm K và điểm I trùng với điểm C vậy các tam giác cân ?BAI, ?AHK ở bài toán 2,1 theo tương ứng là ? BAC và ?AHC (hình bên)
Bài toán 2.3 Cho ?BAC (Â = 1 v ) có cạnh AC
Nhận xét bài toán : Hình bên
Chúng ta chỉ cần thay đổi một ý nhỏ của giả thiết đã chuyển bài toán 2.1 thành bài toán 2.3 (Từ AB < AC ở bài toán 2.1 thành AB > AC ở bài toán 2.3)
Chúng ta thấy rằng kết luận của bài toán không thay đổi, song đây là một bài toán khó hơn về vẽ hình và cả trong quan sát hình vẽ để chứng minh. Trong thực tế cho hai lớp độc lập làm hai bài tập này thì đa số học sinh làm được bài toán 2.1, còn bài toán 2.3 thì số học sinh làm được rất ít.
Khi chúng ta đẫn dắt học sinh từ bài toán 2.1 ? bài toán 2.2 ? bài toán 2.3 theo thứ tự ở cách làm trên thì đa số học sinh giải bài toán 2.3 một cách nhanh chóng, chính xác.
Chú ý: Khi cạnh AC< AB ? góc ABC nhỏ hơn góc BCA ? gócACx =2. gócBCA > 1v ? Điểm K nằm trên tia đối của tia Cx, điểm I nằm trên tia đối của tia CB. Do vậy khi ra đề cần lưu ý những điểm này để ra đề chính xác.

Hướng khai thác tiếp
Ta thấy nội dung các bài toán trên có một yếu tố của tam giác ABC không thay đổi đó là góc A bằng 1 vuông, một vấn đề đặt ra là trong trường hợp góc A không bằng 1 vuông, hướng khai thác bài toán như thế nào ?. Như chúng ta thấy sở dĩ ta có ? BAI cân là do các điều kiện của gi thiết trong đó có điều kiện là ? ABC có gócA = gócAKC = 1 (v). Từ nhận định đó ta có bài toán khái quát hơn như sau:
Bài toán 2.4
Cho ?BAC có cạnh A C> AB. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B có bờ là AC, dựng tia Cx sao cho gócACB = gócBCx. Vẽ đường thẳng qua A cắt Cx tại K, cắt BC tại I sao cho gócAKC = gócBAC. Chứng minh AB = AI.
Nhận xét
Bài toán này cách giải tương tự bài toán như các bài toán trên, song khó hơn là do trong trường hợp này không thể dùng góc phụ nhau như bài toán trên ở trong tam giác vuông được, mà các em phải vận dụng giả thiết và dựa vào tổng các góc trong một tam giác bằng 180độ để chứng minh.

Hướng chứng minh như sau

hình bên
gócABC + gócACB =
180độ - gócBAC (*)
gócICK + gócKIC =
180độ - gócIKC (**)
Theo g/t thì :
gócBAC = gócAKC,
gócACB = gócICK
Kết hợp với (*) và (**) ? gócKIC = gócABC và suy ra tam giác ABI cân tại A (đccm)
Cách khai thác tiếp : Tương tự các bài toán 2.1; 2.2; 2.3 khi ta cho AC = AB ta có bài toán 2.5 ; khi AC < AB ta có bài toán 2.6.
Bài toán 2.5: Hãy vẽ hình và giải bài toán 2.4 trong trường hợp AB = AC
Chú ý: Trường hợp này cũng như trường hợp ở bài toán 2.2 các điểm C, K, I trùng nhau. Lúc đó tam giác cần chứng minh cân là tam giác ?ABC (cân tại A)
Bài toán 2.6: Hãy vẽ hình và giải bài toán 2.4 trong trường hợp AC < AB
Chú ý: Trong trường hợp này giả thiết cho góc BAC bằng góc AKy. Tam giác cần chứng minh cân là tam giác BAI (cân tại A)
III. Kết quả khi áp dụng kinh nghiệm
Như đã trình bày ở trên, với cách khai thác một bài toán hình học lớp 7 như vậy đã hấp dẫn, lôi cuốn học sinh, làm cho các em yêu thích môn toán nói chung và môn hình học nói riêng. Mặt khác giúp cho các em giải các bài toán khó hơn trên cơ sở những bài toán đã giải trước đó. Bằng phương pháp thay đổi giả thiết trong phạm vi cho phép, để tạo ra những bài toán mới, đã giúp cho các em nhìn bài toán hình theo "quan điểm động" . Từ đó tạo tiền đề ( kiến thức và phương pháp ) cho các em định hướng tự học, tự nghiên cứu và như vậy sẽ có tác động tốt đến phát triển tư duy và trí thông minh sáng tạo của các em học sinh Đặc biệt những em học sinh có thể tự ra đề, trên cơ sở tìm ra được cốt lõi, bản chất của nội dung một bài toán và mối liên hệ mật thiết trong bài toán đó.
Cùng một bài trắc nghiệm, kết quả lớp có áp dụng các biện pháp của kinh nghiệm này cao hơn rất nhiều, và đặc biệt là không có học sinh lười học, không làm bài tập. Lớp 7A không áp dụng, lớp 7B có áp dụng kinh nghiệm trên kết qủa được phản ánh ở bảng sau:
Bảng so sánh

IV. Bài học kinh nghiệm
Qua những biện pháp mà tôi đã thực hiện trên đây tôi đã rút ra được một bài học kinh nghiệm là:
Trong tất cả các bài toán trong sách giáo khoa và sách bài tập và những bài toán ngoài hai quyển sách này được giáo viên chọn lọc, phải được giáo viên nghiên cứu kỹ nội dung. Một yêu cầu không thể thiếu được là người giáo viên phải hướng dẫn học sinh giải đầy đủ, chính xác theo yêu cầu của đề ra, để cho học sinh nắm vững nội dung bài toán và lời giải. Sau khi bài giải đã hoàn thành, dưới sự dẫn dắt của giáo viên, đặt bài toán vào các tình huống mới (Các tình huống này phải được giáo viên chuẩn bị trước và nghiên cứu kỹ). Thông thường yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi: "Nếu thay đổi một trong những giả thiết này thì kết luận của bài toán sẽ như thế nào ? Tại sao lại như vậy?".Cứ như vậy sau khi hoàn thành viêc giải quyết nội dung các câu hỏi trên, chúng ta sẽ được một bài toán mới. Trên cơ sở có kế thừa và có phát triển bài toán trước đó.
Một trong những điều hết sức chú ý là tính đúng đắn của những bài toán mới đưa ra. Người thầy giáo phải tính trước mọi khả năng xẩy ra, khi có sự thay đổi giả thiết, và tìm kết luận mới.
Sau khi đã đưa ra được những bài toán mới, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được mối liên hệ của các bài toán đó một cách có hệ thống, có như vậy mới làm tăng thêm tính hấp dẫn của bài toán đối với học sinh, thu hút các em hăng say khám phá, tìm tòi, yêu thích việc giải toán. Đây là một trong những biện pháp tốt để phát triển trí thông minh sáng tạo cho các em. Để có hiệu quả tốt trong khi thực hiện kinh nghiệm này, người thầy giáo cần bố trí thời gian hợp lý để khai thác nội dung các bài toán theo phương pháp trên ( có thể đưa vào các buổi bồi dưỡng học sinh giỏi, giờ luyện tập, gợi ý cho các em thực hiện ở nhà ,.)
Trên đây là nội dung kinh nghiệm mà bản thân đã đúc rút được trong thực tế công tác của mình. Trong cách trình bày và nội dung chác chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong đồng nghiệp góp ý xây dựng để kinh nghiệm có chất lượng hơn./.