Kinh nghiệm học hình học [chủ đề 1 (vấn đề 4)]

Vấn đề 4: Chứng minh tính chất của các phần tử và xác định hình dạng của các đa giác đặc biệt.

A/ CÁC DANG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI THƯỜNG DÙNG.
Chứng minh tia phân giác của góc, của tam giác.
Chứng minh trung tuyến của tam giác.
Chứng minh đường thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng.
Chứng minh một điểm là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, bằng tiếp tam giác.
Chứng minh tam giác cân, tam giác đều. Sử dụng định nghĩa, tính chất.
Chứng minh nửa tam giác đều, tam giác vuông cân. Sử dụng định nghĩa, tính chất.
Chứng minh tứ giác là hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. Sử dụng dấu hiệu nhận biết.
Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với đường tròn. Sử dụng tính chất nhận biết tiếp tuyến của hình tròn.
Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc. Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường tròn (O;R) tiếp xúc (O’;R’).
( OO’ = R + R’ (hoặc OO’ = |R – R’|).
Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định.
- Sử dụng các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
- Sử dụng cách xác định vị trí.
B/ BÀI TẬP.
Cho tam giác đều ABC, D
BC. Đường thẳng qua D và song song với AC gặp AB tại E. Đường thẳng qua D và song song với AB gặp AC tại F. P, Q là trung điểm BF, CE. Chứng minh tam giác DPQ đều.
Phía trong hình vuông ABCD dựng tam giác ABE cân tại E có góc đáy bằng 15o. Chứng minh tam giác CDE đều. HD: dựng tam giác IEB đều, I nằm trong tam giác CEB.
Cho tam giác ABC nhọn. Hai đường cao BD và CE cắt tại H. Trên HB, HC lấy M, N sao cho AMC = ANB = 90o. Chứng minh tam giác AMN cân.
Trên cạnh huyền BC của tam giác ABC dựng hình vuông BCDE khác phía với A. I là tâm hình vuông (giao điểm hai đường chéo).
Chứng minh AI là phân giác của
.
Nếu BCDE dựng cùng phía với A thì có nhận xét gì về AI? Chứng minh.
Cho tam giác nhọn ABC có
= 60o. AM và CN là các đường cao. O là trung điểm AC. Chứng minh tam giác MNO đều.
Trên BC của tam giác ABC ta lấy D, E biết BD = CE và
=
. Chứng minh tam giác ABC cân. HD: dựng (O)
ABC. AD cắt (O) tại M; AE cắt (O) tại N.
Cho tam giác ABC. O1, O2, O3 là tâm các đường tròn bàng tiếp trong góc A, B, C của tam giác ABC. chứng minh tam giác O1O2O3 nhọn. HD: gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
ABC. BI, BO1 là phân giác hai góc kề bù ABC và CBx nên
= 90o, tương tự
= 90o.
Các tam giác đều ABC và PQR được sắp xếp sao cho đỉnh C nằm trên PQ, còn R nằm trên AB. Chứng minh ABQP là hình thang.
Chứng minh rằng, nếu một ngũ giác có các góc bằng nhau và nội tiếp được trong một đường tròn thì ngũ giác ấy đều.
Cho trước BC là đường kính của đường tròn T có tâm O. A là điểm trên T sao cho 0o <
< 120o. D là điểm giữa cung AB (cung không chứa C). Đường thẳng qua O song song với DA cắt AC tại I. Trung trực OA cắt T tại F và E. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp CEF.
Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) với R > R’ cắt nhau tại A, B. Vẽ Hai tiếp tuyến chung ngoài MM’ và NN’. MN cắt OO’ ở C, M’N’ cắt OO’ ở D. Chứng minh ABCD là hình thoi.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). E, F, G, H là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB. Chứng minh EFGH là hình chữ nhật. HD: vẽ Fx là tia đối tia FC.
Cho hai đường tròn T1, T2 cắt tại P, Q. Tiếp tuyến chung gần P tiếp xúc T1 tại A, T2 tại B. Tiếp tuyến tại P của T1 cắt T2 tại C. Đường thẳng AP cắt BC tại R. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp
PQR tiếp xúc với BR. HD: vẽ Rx là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
PQR.
Cho tam giác ABC (AB = AC). M là điểm di động trên AB và N là điểm di động trên AC sao cho CN = BM. Chứng minh đường trung trực của MN đi qua một