Kinh nghiệm học hình học [chủ đề 1 (vấn đề 3)]

Vấn đề 3: Chứng minh 3 điểm cùng thuộc một đường thẳng, bốn điểm cùng thuộc một đường tròn và các đường thẳng đồng quy

A/ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.
Dạng 1: Chứng minh các điểm thẳng hàng
Các phương pháp thường dùng
Sử dụng tính chất hai tia đối nhau.
Sử dụng tiên đề Ơclit.
Sử dụng tính chất đường đặc biệt trong tam giác.
Sử dụng tính chất các đường chéo đặc biệt.
Sử dụng tính chất cửa đường tròn.
Dạng 2: Chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn (đa giác nội tiếp)
Các phương pháp thường dùng
Sử dụng định nghĩa đường tròn.
Sử dụng định lí đảo về tứ giác nội tiếp.
Sử dụng kiến thức tứ giác lồi có hai đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh kia dưới hai góc bằng nhau thì nội tiếp.
Sử dụng kiến thức tứ giác lồi có góc ngoài bằng góc đối trong của góc kề nó.
Chú ý: Hình thang ABCD nội tiếp ( ABCD là hình thang cân. Hình bình hành ABCD nội tiếp ( ABCD là hình chữ nhật.
Dạng 3: Chứng minh các đường thẳng đồng quy
Các phương pháp thường dùng
Sử dụng việc chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
Sử dụng tính đồng quy của các đường cùng tên trong tam giác.
Sử dụng tính chất đường chéo của hình bình hành.
B/ BÀI TẬP.
Cho tam giác ABC. Lấy D và E lần lượt trên AB, AC sao cho
. Gọi I, K là trung điểm DE, BC. Chứng minh A, I, K thẳng hàng. HD: gọi I’ là giao điểm AK, DE.
Từ đỉnh một tam giác vẽ các đường vuông góc xuống bốn đường phân giáctrong và ngoài của tam giác ở hai đỉnh kia. Chứng minh bốn chân đường vuông góc đó thẳng hàng.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M là điểm trên đường tròn (O) (M không đồng nhất với B), (M không đồng nhất với C). Vẽ MI, MH, MK lần lượt vuông góc với AB, BC, AC. Chứng minh I, K, H thẳng hàng.
Cho đường thẳng (I,r) nội tiếp trong tam giác ABC. Đường tròn (I) tiếp xúc với BC tại D. M, N là trung điểm BC, AD. Chứng minh I, M, N thẳng hàng. HD: vẽ đường kính DE và tiếp tuyến tại E của đường tròn (I) cắt AB, AC ở P, Q.
Cho tứ giác ABCD (không phải
) ngoại tiếp đường tròn (O,R). Gọi I, j là trung điểm BD, AC. Chứng minh I, O, J thẳng hàng. HD: giả sử AB không song song với CD và AB cắt CD tại M.
Từ giao điểm O của các đường phân giác của các góc trong tam giác ABC, hạ các đường vuông góc với các cạnh BC, AC, AB lần lượt tại các điểm D, E, F. Kẻ BB1
AO, AA1
BO. Chứng minh: A1, B1, D, E thẳng hàng.
Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R). H là trực tâm, G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M, N, P, I, K, L lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, AB, AC, HA, HB, HC. D, E, Q là chân đường cao vẽ từ A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh:
H, G, O thẳng hàng
M, N, P, I, K, L, D, E, Q cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính đường tròn đó.
HD: vẽ đường kính AF.
Bốn đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn tam giác. chứng minh các đường tròn ngoại tiếp của bốn tam giác này có chung một điểm (điểm Miquel). HD: theo đề bài thì không có 3 đường thẳng nào trong chúng cắt nhau tại một điểm. Giả sử AB, BC, AC cắt đường thẳng thứ tư tại D, E, F. Gọi P (P
C) là điểm chung của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và CEF.
Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.
M là trung điểm OA, N trung điểm BC. Chứng minh C, D, M, N thuộc đường tròn. HD: Gọi H là trung điểm OC; O’ trung điểm DN.
Trên AB và AD lấy I và K sao cho AI = AK. Từ A hạ AP
DI (P
DI) và cắt cạnh BC ở Q. Chứng minh C, D, K, P, Q thuộc một đường tròn.
Cho tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm BC. Lấy D bất kì trên BD (D
B
C). Gọi E,