Kiểm tra 15'

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2017 – 2018
BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
Đề chính thức Môn thi: Toán (Chuyên toán – tin)
Ngày thi: 02/ 6/ 2018 Thời gián làm bài: 150 phút

Bài 1: (2 điểm).
(
)
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (1,5 điểm).
Cho a, b là bình phương của hai số lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng: ab – a – b +1 chia hết cho 192
Bài 3: (2,5 điểm)
Cho a, b, c là các số thực phân biệt có tổng bằng 3. Chứng minh rằng, trong ba phương trình
,
,
có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt và ít nhất một phương
trình vô nghiệm.
Bài 4: (3 điểm)
Cho đường tròn tam giác ABC (AB < AC) có các góc đều nhọn, tiếp nội tiếp trong đường tròn tâm O. Đường
phân giác tại A của tam giác cắt đường tròn (O) tại điểm D khác A. Gọi M, H lần lượt là trung điểm của AD và
BC. Đường tròn qua ba điểm A, B, M cắt cạnh AC tại F.
a) Chứng minh:

b) Chứng minh FH song song AD
c) Gọi E là điểm đối xứng với D qua O, chứng minh EF vuông góc AC.
Bài 5: (1 điểm)
Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x
3, y
2, z
1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:






















Lượt giải:
Bài 1: (2 điểm).
(
)
a)

Vậy:
(với
)
b) Từ câu a) ta có:
(với
)
nên P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi

Ư(5)
(vì
với x
0)

(thỏa ĐK:
)
Vậy P có giá trị nguyên khi x = 9
Bài 2: (1,5 điểm).
Theo giả thiết, ta có:





Trong đó (n – 1)n
2 và n(n + 1)
(vì trong hai số tự nhiện liên tiếp có một số chia hết cho 2)
nên ab – a – b +1
16
2
2 hay ab – a – b +1
64
và (n – 1)n(n + 1)
3 (vì trong ba số tự nhiện liên tiếp có một số chia hết cho 3)
Do đó: ab – a – b + 1
64
3
Vậy ab – a – b + 1
192
Bài 3: (2,5 điểm)
Ba phương trình:
(1),
(2),
(3)
có
,
và
(*)



(với a + b + c = 3 và a
b, b
c, c
a)
suy ra: trong ba biệt thức ở (*), có ít nhất một số dương và ít nhất một số âm.
Vậy: trong ba phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt và ít nhất một phương
trình vô nghiệm.
Bài 4: (3 điểm) a) Chứng minh:

Vì AC cắt đường tròn qua ba điểm A, B, M tại F
nên ta có:
(=
sđ
)
mà
(=
sđ
của đường tròn (O))
suy ra:
(*)
Xét hai tam giác MBD và FBC, chúng có:

(suy ra từ (*)) và
(=
sđ
của đường tròn (O))


MBD
FBC (g,g)
(1)

b) Chứng minh FH song song AD
Ta có: (1)
(vì H, M lần lượt là trung điểm của BC và AD)
lại có:
(=
sđ
của đường tròn (O))


BDA
HCF (c,g,c)

(2)
Mặt khác:
H là trung điểm của dây không qua tâm đường tròn (O) nên OH là đường trung trực
của đoạn thẳng BC, suy ra DB = DC
(3)
Từ (2) và (3) suy ra:
và chúng ở vị trí đồng vị
Vậy FH // AD (4)