Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Cho điểm M0 và mặt phẳng (?). Gọi H là hình chiếu của điểm M0 lên mặt phẳng (?).
Khoảng cách từ điểm M0 tới mặt phẳng (?)

d(M0, (P)) = M0H
P
.
M0
H
.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

d((?), (?)) = d(M, (?)), với M ? (?)
d((?), (?)) = d(M`, (?)), với M` ? (?)
?
?
Trong mặt phẳng (Oxy), cho điểm M0(x0 ; y0)
và đường thẳng (?) có pt: Ax + By + C = 0
(?)
Trong không gian (Oxyz), cho điểm M0(x0 ; y0 ; z0)
và mặt phẳng (?) có pt: Ax + By + Cz + D = 0
Trong không gian (Oxyz), cho điểm M0(x0 ; y0 ; z0)
và mặt phẳng (?) có pt: Ax + By + Cz + D = 0
Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Ví dụ. Cho điểm A(-2 ; 1 ; 3) và mặt phẳng (P): 3x - 4z + 3 = 0
Tính khoảng cách từ A tới (P).
Giải.
HĐ 1. Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là:
3x - y + 2z - 6 = 0 và 6x - 2 y + 4z + 4 = 0.
a) CMR hai mặt phẳng này song song với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng này.
c) Tìm tập hợp điểm cách đều hai mặt phẳng này.
Giải.
a) Ta có suy ra (?) // (?).

b)

c) Điểm M(x ; y ; z) cách đều (?) và (?) khi và chỉ khi
Ví dụ 3. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = b, OC = c. Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ O.
O
A
B
C
x
y
z
Ví dụ 2. Cho HLP ABCDA`B`C`D` cạnh a. Trên các cạnh AA`, BC, C`D` lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
AM = CN = D`P = t với 0 < t < a.
a) CMR mp(MNP) // mp(ACD`)
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng này
M
N
P
z
y
z