Khảo sát tính ổn định của hệ thống

Chia sẻ bởi Trần Văn Duy | Ngày 10/05/2019 | 35

Chia sẻ tài liệu: khảo sát tính ổn định của hệ thống thuộc Tin học 12

Nội dung tài liệu:

BÀI GIẢNG
LÝ THIẾT
ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Thạc sĩ VÕ VĂN ĐỊNH
NĂM 2009
CHƯƠNG 4: KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG
4.1 Khái niệm về ổn định
4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số
4.3 Phương pháp quỷ đạo nghiệm số
4.4 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.1.1 Định nghĩa
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
Hệ thống được gọi là ở trạng thái ổn định, nếu với tín hiệu vào bị chặn thì đáp ứng của hệ thống cũng bị chặn (Bounded Input Bounded Output = BIBO)
Yêu cầu đầu tiên của hệ thống ĐKTĐ là hệ thống phải giữ được trạng thái ổn định khi chịu tác động của tín hiệu vào và chịu ảnh hưởng của nhiễu lên hệ thống.
Hệ phi tuyến có thể ổn định trng phạm vi hẹp khi độ lệch ban đầu nhỏ và không ổn định trong phạm vi rộng nếu độ lệch ban đầu là lớn.
4.1.1 Định nghĩa
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
Đối với hệ tuyến tính đặc tính của quá trình quá độ không phụ thuộc vào giá trị tác động kích thích. Tính ổn định của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại và giá trị của tín hiệu vào và trong hệ tuyến tính chỉ tồn tại một trạng thái cân bằng.
Phân biệt ba trạng thái cân bằng:
- Biên giới ổn định
- ổn định
- và không ổn định
4.1.1 Định nghĩa
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
Trên hình vẽ ta thấy nếu thay đổi nhỏ trạng thái cân bằng của quả cầu, chẳn hạn cho nó một vận tốc nhỏ ban đầu đủ bé thì quả cầu sẽ tiến tới một trạng thái cân bằng mới vị trí a, hoặc sẽ dao động quanh vị trí cân bằng vị trí b và vị trí d, hoặc sẽ không về trạng thái ban đầu vị trí c. Trong trường hợp đầu, ta có vị trí cân bằng ở biên giới ổn định, trường hợp sau là ổn định trường hợp thứ ba là không ổn định.
4.1.1 Định nghĩa
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
Cũng ở vị trí b và vị trí d, nếu quả cầu với độ lệch ban đầu lớn thì cũng sẽ không trở vể trạng thái ban đầu được - hai trạng thái b và d chỉ ổn định trong phạm vi hẹp mà không ổn định trong phạm vi rộng.
Trong trường hợp này việc khảo sát tính ổn định được giới hạn cho các hệ tuyến tính bất biến theo thời gian. Đó là những hệ thống mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng và có thể áp dụng được nguyên lý xếp chồng.
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
Một hệ thống ĐKTĐ được biểu diễn bằng phương trình vi phân dạng tổng quát:
Phương trình (4.1) ứng với tín hiệu vào hệ thống là r(t) và tính hiệu ra c(t). Hàm truyền đạt của hệ thống được mô tả bằng (4.1) có dạng:
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
Nghiệm của (4.1) gồm hai thành phần:
Trong đó:
c0(t) : là nghiệm riêng của (4.1) có vế phải, đặc trưng cho quá trình xác lập
cqđ (t) : là nghiệm tổng quát của (4.1) không có vế phải, đặc trưng cho quá trình quá độ.
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
Dạng nghiệm đặc trưng cho quá trình quá độ trong hệ thống:
Trong đó pi là nghiệm của phương trình đặc tính:
pi có thể là nghiệm thực cũng có thể là nghiệm phức liên hợp và được gọi là nghiệm cực của hệ thống. Đa thức mẫu số hàm truyền đạt là A(s) bậc n do đó hệ thống có n nghiệm cực pi (Pole), i = 1, 2, …, n
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
Zero là nghiệm của phương trinh B(s) = 0. Tử số hàm truyền đạt G(s) là đa thức bậc m (m < n) nên hệ thống có m nghiệm zero - zj với j = 1, 2, …, m.
Hệ thống ổn định nếu:
Hệ thống không ổn định nếu:
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
Trong phương trình (4.4) hệ số i là hằng số phụ thuộc vào thông số của hệ và trạng thái ban đầu.
Nghiệm cực pi được viết dưới dạng:
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
Phân biệt ba trường hợp phân bố cực trên mặt phẳng phức số:
Phần thực của nghiệm cực dương i > 0
Phần thực của nghiệm cực dương bằng 0
Phần thực của nghiệm cực âm i < 0
Phân bố cực trên mặt phẳng S
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
Ổn định của hệ thống chỉ phụ thuộc vào nghiệm cực mà không phụ thuộc vào nhiệm zero, do đó mẫu số hàm truyền đạt là A(s) = 0 được gọi là phương trình đặc tính hay phương trình đặc trưng của hệ thống.
1 – Hệ thống ổn định nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính đều có phần thực âm: Re[pi] < 0, i < 0 các nghiệm nằm bê trái mặt phẳng phức:
2 – Hệ thống không ổn định nếu có dù chỉ là một nghiệm phương trình đặc tính (4.9) có phần thực dương (một nghiệm phải) còn lại là các nghiệm đều có phần thực âm (nghiệm trái)
Kết luận:
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
3 – Hệ thống ở biên giới ổn định nếu có dù chỉ là một nghiệm có phần thực bằng không còn lại là các nghiệm có phần thực âm (một nghiệm hoặc một cặp nghiệm phức liên hợp nằm trên trục ảo).
Vùng ổn định của hệ thống là nửa trái mặt phẳng phức số S. Đáp ứng quá độ có thể do động hoặc không dao động tương ứng với nghiệm của phương trình đặc tính là nghiệm phức hay nghiệm thực.
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
Tất cả các phương pháp khảo sát ổn định đều xét đến phương trình đặc tính (4.9) theo một các nào đó. Tổng quát, ba cách đánh giá sau đây thường được dùng để xét ổn định:
1- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh - Hurwitz.
2- Tiêu chuẩn ổn định tần số Mikailov - Nyquist - Bode.
3- Phương pháp chia miền ổn định và phương pháp quỷ đạo nghiệm số.
4.2.1 Điều kiện cần
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng phải khác 0 và cùng dấu.
Ví dụ: hệ thống có phương trình đặc trưng:
không ổn định
không ổn định
chưa kết luận được
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:
Muốn xét tính ổn định tính ổn định của hệ thống thei tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo quy tắc:
- Bảng Routh có (n + 1) hàng.
Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẵn.
Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẽ.
Phần ở hàng i cột j của bảng Routh (i > 3) được tính theo công thức:
Với
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Bảng Routh:
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Phát biểu tiêu chuẩn Routh
Điều kiện cần và đủ để tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức là tất cả các phần tử nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương. Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm nằm bên phải mặc phẳng phức.
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Ví dụ 1: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
Giải:
Bảng Routh
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Vì tất cả các phần tử cột 1 bảng Routh đều dương nên tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng đều nằm bên trái mặt phẳng phức, do đó hệ thống ổn định.
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Ví dụ 2: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có sơ đồ khối như sau:
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Giải : Phương trình đặc trưng của hệ thống là:
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Bảng Routh:
Vì các phần tử ở cột 1 bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính đều có 2 nghiệm nằm bên phải mặt phằng phức, do đó hệ thống không ổn định.
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Ví dụ 3: Cho hệ thống có sơ đồ khối như hình vẽ. Hãy xác định điều kiện của K để hệ thống ổn định.
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Giải : Phương trình đặc trưng của hệ thống là:
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Bảng Routh:
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Điều kiện để hệ thống ổn định:
Các trường hợp đặc biệt:
Trường hợp 1: nếu có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0 thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi số dương, nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục.
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Ví dụ 4: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
Giải:
Bảng Routh
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Vì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính của hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định.
Trường hợp 2: nếu tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0:
- Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàm trước hàng có tất cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là Ap(s).
Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có các hệ số chính là các hệ số của . Sau đó quá trình tính toán tiếp tục.
Chú ý: nghiệm của đa thức Ap(s) cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng.
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Ví dụ 5: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
Xác định số nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên trái, phải hay trên trục ảo của của mặt phẳng phức?
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Giải:
Bảng Routh
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Đa thức phụ:
Nghiệm của đa thức phụ cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng:
Kết luận:
Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương trình đặc trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức.
Phương trình đặc trưng có hai nghiệm nằm trên trục ảo.
Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 - 2 = 3.
 Hệ thống ở biên giới ổn định.
4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:
Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo quy tắc:
- Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n n
Đường chéo ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến an.
Hàng lẽ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số chỉ số lẽ theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo.
4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
- Hàng chẵn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số chỉ số chẵn theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo.
4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz
Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương.
Ví dụ 6: Cho hệ thống tự động có phương trình đặc trưng là
Hỏi hệ thống có ổn định không?
Giải:
Ma trận Hurwitz:
4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Các định thức:
Vì tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương nên hệ thống ổn định.
4.3.1 Khái niệm
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Xét hệ thống có phương trình đặc tính
Nghiệm của phương trình đặc tính ứng với các giá trị khác nhau của K:
K = 0: s1 = 0 s2 = - 4
K = 1: s1 = - 0,268 s2 = - 3,732
K = 2: s1 = - 0,586 s2 = - 3,414
K = 3: s1 = - 1 s2 = - 3
K = 4: s1 = - 2 s2 = - 2
4.3.1 Khái niệm
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
K = 5: s1 = - 2 + j s2 = - 2 - j
K = 6: s1 = - 2 + j1,414 s2 = - 2 - j1,414
K = 7: s1 = - 2 + j1,732 s2 = - 2 - j1,732
K = 8: s1 = - 2 + j2 s2 = - 2 - j2
Vẽ các nhiệm của phương trình (4.10) tương ứng với các giá trị của K lên mặt phẳng phức. Nếu cho K thay đổi liên tục từ 0 đến +, tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình (4.10) tạo thành đường đậm nét như trên hình vẽ. Đường đậm nét trên hình vẽ được gọi là quỷ đạo nghiệm số.
4.3.1 Khái niệm
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Định nghĩa:
Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính của hệ thống khi khi có một thông số nào đó trong hệ thống thay đổi từ 0 đến .
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Xét hệ thống có sơ đồ khối sau:
Phương trình đặc tính của hệ:
Muốn áp dụng các quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số, trước tiên ta phải biến đổi tương đương phương trình đặc tính về dạng:
trong đó K là thông số thay đổi.
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Đặt:
Gọi n là số cực của G0(s), m là số zero của G0(s), phương trình (4.12) trở thành:
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Sau đây là 11 quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số của hệ thống có phương trình đặc tính có dạng (4.12);
Quy tắc 1: Số nhánh của quỷ đạo nghiệm số = bậc của phương trình đặc tính = số cực của G0(s) = n.
Quy tắc 2: Khi K = 0: các nhánh của quỷ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của G0(s).
Quy tắc 3: Quỷ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.
Quy tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỷ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero của G0(s) bên phải nó là một số lẽ.
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Quy tắc 5: Góc tạo bởi đường tiệm cận của quỷ đạo nghiệm số với trục thực xác định bởi:
Quy tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A xác định bởi:
Quy tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) của quỷ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và là nghiệm của phương trình:
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Quy tắc 8: Giao điểm của quỷ đạo nghiệm số với trục ảo có thể xác định bằng một trong hai cáh sau đây:
Áp dụng tiêu chuẩn Routh - Hurwitz.
Thay s = j vào phương trình đặc tính (4.12), cân bằng phần thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với trục ảo và giá trị K.
Quy tắc 9: Góc xuất phát của quỷ đạo nghiệm số tại cực phức pj được xác định bởi:
Dạng hình học của công thức trên là: j = 1800 + ( góc từ các zero đến cực pj) - ( góc từ các cực còn lại đến cực pj).
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Quy tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 đến +
Quy tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỷ đạo nghiệm số có thể xác định từ điều kiện biên độ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Ví dụ 7: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:
Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Ví dụ 7: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:
Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0  +
Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống:
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Các cực: ba cực: p1 = 0 , p2 = - 2 ; p3 = -3
 QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0.
Các zero: không có.
Khi K  +, ba nhánh của quỷ đạo nghiệm số sẽ tiến đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi:
- Góc giữa các tiệm cận và trục thực:
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:
Ta có (1)
Do đó
- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
- Giao điểm của QĐNS với trục ảo có thể xác định bằng một trong hai cách sau đây:
Ta có (1)
Cách 1:
Áp dụng tiêu chuẩn Routh
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Điều kiện để hệ thống ổn định:
Vậy, hệ số khuếch đại giới hạn là Kgh = 30.
Thay giá trị Kgh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình ta được giao điểm của QĐNS với trục ảo.
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Cách 2:
Giao điểm (nếu có) của QĐNS và trục ảo phải có dạng s = j. Thay s = j vào phương trình (1) ta được:
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Ví dụ 8: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền hở là:
Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0  +
Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống:
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Các cực: p1 = 0 , p2 = - 4 + j2 ; p3 = - 4 – j2
 QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0.
Các zero: không có.
Khi K  +, ba nhánh của quỷ đạo nghiệm số sẽ tiến đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi:
- Góc giữa các tiệm cận và trục thực:
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:
Ta có (1)
Do đó
Do đó
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Vậy, quỷ đạo nghiệm có hai nghiệm tách nhập.
- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác định bằng cách thay s = j vào phương trình đặc tính.
Thay s = j ta được:
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Vậy, giao điểm của QĐNS và trục ảo là:
- Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2 là:
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Vẽ QĐNS của hệ thống:
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Ví dụ 9: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền hở là:
Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0  +
Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống:
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Các cực: p1 = 0 , p2 = - 3 ; p3,4 = - 4  j2
 QĐNS gồm có bốn nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0.
Các zero: z1 =1
Khi K  +, một nhánh tiến đến zero, ba nhánh còn lại tiến đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi:
- Góc giữa các tiệm cận và trục thực:
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:
- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình
Ta có (1)
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Do đó
Vậy, quỷ đạo nghiệm số không có điểm tách nhập
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác định bằng cách thay s = j vào phương trình đặc tính.
Thay s = j ta được:
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Vậy, giao điểm cần tìm là:
Hệ số khuếch đại giới hạn là: Kgh = 322
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
- Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p3
4.4.1 Nguyên lý góc quay
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Xét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính hệ số hằng:
Đa thức A(s) được viết dưới dạng:
Với p1, p2, …,pn là cực của hệ thống, là nghiệm của phương trình đặc tính.
Thay s = j vào phương trình (4.17) ta có:
4.4.1 Nguyên lý góc quay
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Giả sử phương trình (4.17) có m nghiệm phải (có phần thực dương), còn (n – m) nghiệm trái có phần thực âm.
Góc quay của véctơ đa thức đặc tính tần số G(j)
4.4.1 Nguyên lý góc quay
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Khi tần số  thay đổi từ - đến + thì sự thay đổi góc quay của véctơ đa thức đặc tính tần số A(j) sẽ là:
Ký hiệu  chỉ sự thay đổi góc quay.
Nếu quy định chiều quay dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ thì ta có biểu thức sau đối với nghiệm trái và phải:
Hệ có m nghiệm phải và (n – m) nghiệm trái:
4.4.1 Nguyên lý góc quay
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Véctơ đa thức đặc tính tần số A(j) sẽ quay một góc bằng hiệu số nghiệm trái (n – m) và nghiệm phải (m) nhân với  khi  biến thiên từ - đến +.
Nguyên lý góc quay:
Hệ thống bậc n có m nghiệm phải và (n – m) nghiệm trái có vectơ đa thức đặc tính tần số A(j) sẽ quay một góc là (n – 2m)/2 vòng kín theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số  biến thiên từ - đến +
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Tiêu chuẩn ổn định dựa vào nguyên lý góc quay được A. V. Mikhailov phát biểu vào năm 1938:
Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính ổn định là biểu đồ véctơ đa thức đặc tính A(j) xuất phát từ nửa trục thực dương tại  bằng không, phải quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số  biến thiên từ 0 đến +
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Tiêu chuẩn ổn định dựa vào nguyên lý góc quay được A. V. Mikhailov phát biểu vào năm 1938:
Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính ổn định là biểu đồ véctơ đa thức đặc tính A(j) xuất phát từ nửa trục thực dương tại  bằng không, phải quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số  biến thiên từ 0 đến +, với n là bậc của phương trình đặc tính của hệ thống.
Chứng minh:
Xét hệ thống bậc n có phương trình đâc tính:
Hệ thống ổn định nếu n cực nằm bên trái mặt phẳng phức.
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Theo nguyên lý góc quay:
Vì A(j) và A(-j) là phức liên hợp nên:
Do đó phương trình (4.20) có thể được viết dưới dạng:
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Xây dựng biểu đồ Mikhailov
Thay s = j vào phương trình đặc tính sau đó tách phần thực và phần ảo:
Trong đó: P() là hàm chẵn với : P(-) = P()
Q() là hàm lẻ với : Q(-) = - Q()
Từ biểu thức A(j) nhận được bằng cách thay s = j vào mẫu số hàm truyền:
Ta nhận thấy A(j) chính là đường chéo của đa giác có cạnh tương ứng bằng akn-k và các cạnh vuông góc với nhau.
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Ví dụ: Xét hệ bậc ba n = 3
Cho  biến thiên từ 0 đến  bằng phương pháp xây dựng toàn bộ biểu đồ đa thức đặc tính A(j).
Ví dụ: Xét hệ bậc ba n = 3
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Đa thức đặc tính (mẫu số hàm truyền đạt của hệ cần xét ổn định ở trạng thái hở hoặc trạng thái kín) được phân tích thành hai thành phần:
Ví dụ:
T1 = 0,5; T2 = 2; T3 = 0,1. Tính Kgh
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Xây dựng biểu đồ:
Từ đó suy ra:
Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:
Cho biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặc ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s).
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Tiêu chuẩn Nyquist
Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu đường cong Nyquist của hệ hở G(s) bao điểm (-1, j0)l/2 vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi  thay đổi từ 0 đến +, trong đó l là số cực của hệ hở G(s) nằm bên phải mặt phẳng phức.
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Ví dụ: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hệ hở G(s) có đường cong Nyquist như hình vẽ. Biết G(s) ổn định. Xét tính ổn định của hệ thống.
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Vì G(s) ổn định trên trên G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức. Do đó theo tiêu chuẩn Nyquyst hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquyst G(j) của hệ hở không bao điểm (-1,j0), vì vậy:
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Trường hợp 1: G(j) không bao điểm (-1,j0) suy ra hệ ổn định.
Trường hợp 2: G(j) qua điểm (-1,j0) suy ra hệ kín ở biên ổn định.
Trường hợp 3: G(j) bao điểm (-1,j0) suy ra hệ kín không ổn định.
Chú ý: đối với hệ thống có khâu tích phân lý tưởng. Để xác định đường cong Nyquyst có bao điểm (-1,j0) hay không ta vẽ thêm cung -/2 bán kính vô cùng lớn ( là số khâu tích phân lý tưởng trong hàm truyền hệ hở)
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ thống hồi tiếp âm đơn vị biết hàm truyền của hệ hở là:
Giải: tủy theo giá trị của K, T1, T2, T3 mà biểu đồ Nyquyst của hệ hở có thể có một trong ba dạng sau:
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Vì hệ kín không có cực nằm phía bên phải mặt phẳng phức nên:
Trường hợp 1: G(j) không bao điểm (-1,j0) suy ra hệ ổn định.
Trường hợp 2: G(j) qua điểm (-1,j0) suy ra hệ kín ở biên ổn định.
Trường hợp 3: G(j) bao điểm (-1,j0) suy ra hệ kín không ổn định.
Ví dụ: cho hệ thống có biểu đồ Bode như hình vẽ. Hỏi hệ kín có ổn định không?
4.4.4 Tiêu chuẩn ổn ổn định Bode
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ thống hở G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương.
Hệ thống ổn định

* Một số tài liệu cũ có thể bị lỗi font khi hiển thị do dùng bộ mã không phải Unikey ...

Người chia sẻ: Trần Văn Duy

Dung lượng: | Lượt tài: 2

Loại file:

Nguồn : Chưa rõ

(Tài liệu chưa được thẩm định)

Tải tài liệu

Báo cáo sai sót

Đề suất chỉnh sửa , phân lại mục