Khám phá với 9 9 9.doc

Khám phá với 9 9 9

(Bài toán Với 3 chữ số 9, hãy viết thành một số có giá trị lớn nhất.

1/ Các lời giải:
a/ Trong phạm vi 4 phép tình (+; - ; x; : ), Số đầu tiên ta thường nghĩ ngay tới là  999.
b/Nhưng khi học đến phép lũy thừa, ta thấy ngay
999 < 1000 < 109 < 999 < 9 99 và còn nữa
. Lưu ý rằng
(( 99)9
Hai số 9 ở lũy thừa của số
đã là lũy thứa “99”: hay


2/ So sánh các số sau:
999; 9 99; (99)9;

Trước tiên ta chứng minh bổ đề:

(Bổ đề: Với mọi số tự nhiên n, gọi s(n) là số các chữ số của n ta có
s(n)=[log n]+1. 
Trong đó kí hiệu [x] là phần nguyên của số thực x.
Chứng minh.
Mọi số tự nhiên n đều có thể viết dưới dạng:
n=r×10m, (1)
Trong đó số thực r([1;9]. Khi đó, s(n)=m+1.
Chẳng hạn: n=1234567890
 có 10 chữ số. Ta có thể viết thành: n=1.23456789×109
Lấy logarit thập phân cả hai vế của đẳng thức (1) ta được:
logn=logr +m Ta có điều phải chứng minh.

Áp dụng bổ đề, ta có:
s(9 99)=[99log9]+1=95
s(999)=[9log99]+1=18
s((99)9)=[92log9]+1=78
s
= 99log9]+1=369 693 100
Như vậy đúng ra đáp số của bài toán đầu tiên: số lớn nhất là 
. Số này có gần 370 triệu chữ số.
Giả sử 1 người không dùng máy tinh chép 1 ngày cố gắng lắm được 1 triệu số thì để chép hết các chữ số hiển thị hết giá trị của
phải mất > 1 năm trời !

(Mở rộng vấn đề
Có lẽ vì thế mà phép tính lặp n lần lũy thừa :



Lâu nay ít được chú ý. Các nhà trường phổ thông không thấy đề cập dến phép tính này.
Mở rộng với cơ số 10 ta có phép tính

Bạn nào dùng máy tính, thử xem với n = 5 thì phép tình trên sẽ cõ bao nhiêu số “O” ?
(Xin trở lại vấn đề này trong 1 bài sau vậy )


PHH Sưu tầm và bổ sung (Xuân Giáp Ngọ) – TL tham khảo Web truonglang