Khai xuân những bài toán hay

Đề bài: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O:R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm) và một cát tuyến AMN (M nằm giữa A và N). Gọi I, K, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC, BC. Gọi E là điểm chính giữa cung nhỏ BC.
a)Gọi H là trung điểm BC. Chứng minh: AM.AN = AH.AO
b)Chứng minh: E là tâm đường tòn nội tiếp tam giác ABC
c)Xác định vị trí của cát tuyến AMN để
đạt giá trị nhỏ nhất


c)Vì tứ giác BIMP nội tiếp nên

Vì tứ giác CPMK nội tiếp nên

Vì BA là tiếp tuyến của
nên

Từ đó suy ra

Tương tự:

Suy ra



Mặt khác ta lại có:



Vì AB=AC nên



Để
đạt giá trị nhỏ nhất thì MI+MK đạt giá trị nhỏ nhất mà AB,AC,BC cố định nên MP đạt giá trị lớn nhất => M là điểm chính giữa cung BC=> cát tuyến AMN đi qua O