Khai triển Taylor

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK---------------------------------------------------------------------------------------------------
TOÁN 1
GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN
BÀI 6: KHAI TRIỂN TAYLOR

TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2007)
CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cực trị tại x0: ? ? > 0 : ? x ? (x0 ? ?, x0 + ?) ? f(x) ? f(x0)
Fermat: f đạt cực trị tại x0 ? (a,b) & khả vi tại x0 ? f?(x0) = 0
Minh hoạ hình học:
ĐỊNH LÝ ROLL ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a, b), f(a) = f(b) ? ? x0?(a, b): f?(x0) = 0
Minh hoạ hình học:
Giải: Xét hàm phụ
VD: Chứng minh phương trình 4ax3 + 3bx2 + 2cx ? (a + b + c) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thực trong khoảng (0, 1)
ĐỊNH LÝ (SỐ GIA) LAGRANGE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) ? ? c ? (a, b): f(b) ? f(a) = f?(c)(b ? a)
VD: CMinh BĐThức
A�p dụng: Khảo sát tính đơn điệu của hàm y = f(x) bằng đạo hàm
KHAI TRIỂN TAYLOR -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CT Taylor (phần dư Peano): f có đhàm đến cấp n trên (a,b)
Hàm y = f(x) có đạo hàm tại x0 ? f(x) ? f(x0) + f?(x0)(x ? x0)
Công thức Taylor: f có đạo hàm cấp n+1 trên (a,b); x0 , x?(a, b)
: Phần dư Lagrange
KHAI TRIỂN MAC ? LAURINT --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x0 = 0: Khai triển Mac ? Laurint (phổ biến)
Phần dư Lagrange:
Phần dư Peano:
VD: Khai triển Mac ? Laurint của hàm a/ ex b/ cosx
Kết quả:
MINH HOẠ KHAI TRIỂN MAC ? LAURINT -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Minh hoạ hình học khai triển Mac - Laurint hàm f(x) = sinx
Chú ý: Đồ thị đa thức xấp xỉ tiến dần về đồ thị hàm được khai triển
KHAI TRIỂN MAC ? LAURINT HÀM CƠ BẢN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Khai triển ex: tách mũ chẵn, lẻ & đan dấu. cos chẵn ? mũ chẵn; sin lẻ ? mũ lẻ; tg lẻ ? mũ lẻ. K0 đan dấu ? shx, chx
Hàm lượng giác: sinx, cosx. Hàm tgx (chỉ đến cấp ba)