Khai thác kiến thức cơ bản trong quy trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS

Khai thác kiến thức cơ bản
trong quy trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán thcs
theo phương pháp dạy học tích cực
Phần thứ nhất: Đặt vấn đề
I- Thực tiễn đòi hỏi phải tích cực đổi mới phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS.
1- Bồi dưỡng học sinh giỏi là một khâu hết sức quan trọng của quá trình dạy - học; Hơn nữa lại là khâu thể hiện khá đầy đủ, đa dạng và phong phú năng lực sư phạm ( Kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo, phương pháp dạy - học ) của cả giáo viên và học sinh. Chúng ta đang thực hiện đổi mới PPDH ở tất cả các môn học thì tất yếu phải đổi mới PPBDHSG ở cả phương diện kiến thức, phương pháp và thiết kế bài dạy bồi dưỡng.
2- Hãy thử nhìn lại kết qủa môn Toán trong kỳ kiểm tra học kỳ I năm học 2007 - 2008.
3- Dạy - học Hình học - cơ hội tốt nhất để bồi dưỡng năng lực độc lập suy nghĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh giỏi. Hãy thử nghiên cứu một cách nghiêm túc chất lượng môn Hình học qua kì kiểm tra học kỳ I năm học 2007 - 2008 và kỳ thi HSG cấp huyện vài năm qua.
a- Nhìn dưới góc độ chất lượng chung:
- Số học sinh thích học Hình học ít hơn rất nhiều so vơí số học sinh thích học Đại số.
- Chất lượng môn Hình học thấp hơn rất nhiều so với chất lượng môn Đại số.
- Số HS không vẽ được hình: 20 - 30 %.
- Số HS bỏ bài hình không làm: 30 - 40 %.
- Số HS làm nhưng làm sai: 20 - 25 %.
- Số HS làm được cả bài hoặc một phần khoảng 20 - 25 %.
b- Nhìn dưới góc độ HSG.
- Số HS bỏ bài hình không làm: 60 - 70 %.
- Số HS làm nhưng làm sai: 10 - 20 %.
- Số HS làm được bài hình: 5 - 10 %
4- Tồn tại thường có trong dạy và học Hình học hiện nay.
Về phía giáo viên:
- Trong dạy học chính khóa:
+ Chưa coi trọng yếu tố trực quan trong dạy - học Hình học ( Một giờ dạy chỉ một hình vẽ, vẽ hình chưa hấp dẫn, chưa sử dụng phấn màu. ).
+ Chưa chú trọng hướng dẫn vẽ hình.
+ Sử dụng công cụ hình học chưa thường xuyên, chưa khoa học.
+ ít bồi dưỡng năng lực suy luận, suy diễn.
- Trong bồi dưỡng HSG:
+ Chưa gắn BD HSG từ việc giảng dạy hàng ngày, hướng dẫn học ở nhà, luyện tập, thực hành và bồi dưỡng.
+ Thiếu biện pháp bồi dưỡng năng lực tư duy cho HS.
+ Nặng về dạy học " Nhồi nhét kiến thức"

Về phía học sinh:
- Thiếu tinh thần, ý thức và thái độ học tập nghiêm túc.
- Biểu hiện rất rõ ít yêu thích môn học.
- Ngại và sợ học hình học, làm bài tập hình.
- Thiếu dụng cụ học tập.
- Sử dụng dụng cụ hình học còn yếu.
- Học tập cầm chừng, ỉ lại và đối phó.
- Phương pháp học tập thụ động, mơ hồ, thiếu tính trực quan, cụ thể, chưa thực hiện được quy trình từ trực quan, trực giác đến dự đoán, tìm tòi.
- Rất kém trong vẽ hình, không vẽ được hình, không nhìn thấy các mối quan hệ hình học; như: Vẽ đoạn thẳng không đầu, vẽ tia không gốc, vẽ đa giác thành đa giác đặc biệt...
- Nhiều HS không biết suy luận hình học.
II- Dạy gì, học gì trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS.
1- Hãy nghiên cứu kĩ PPCT môn Hình học THCS:
- Lớp 6: HS làm quen với một số khái niệm hình học cơ bản, Biết vẽ một số hình hình học cơ bản; Tiếp nhận các tiên đề hình học cơ bản.
- Từ lớp 7, HS được học các mối quan hệ hình học; bắt đầu làm quen với suy luận ( định lí ) từ trực quan, quy nạp.
* Như vậy cần quan tâm nhiều đến việc dạy HS xét các quan hệ hình học trong tập hợp nhiều hình từ đơn giản, đến phức tạp. Có thể nói đây là trọng tâm của bồi dưỡng HSG hình học.
* Nên bắt đầu bồi dưỡng HSG hình học ngay từ lớp 7.
2- Con đường để bồi dưỡng HSG toán:
- Bồi dưỡng từ xa, từ đại trà đến tập trung đội tuyển, từ lớp đến tự học; từ đơn giản đến phức tạp; từ kiến thức cơ bản, kỹ năng cơ bản đến kiến thức trọng tâm, trọng điểm; từ kiến thức đến kỹ năng; từ phwong pháp đến tư duy; từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng.
- Bồi dưỡng thường xuyên, liên tục, kiên trì và sáng tạo.
- Gắn dạy - học đại trà với BD HSG.
3- Người thầy trong bồi dưỡng HSG toán.
* Phương châm: HS học một để biết hai, ba..
- Thầy phải nắm vững nội dung, yêu cầu của chương trình, phạm vi, mức độ kiến thức, xu hướng thời đại.
- Thầy phải biết hai, ba. để dạy một.
- Thầy phải thực sự là một nhà sư phạm.
- Thầy phải thực sự tâm huyết với nghề nghiệp.
- Thầy phải có quá trình tự học nghiêm túc.
* Phương pháp dạy học của thầy quyết định cách thức học tập và nghiên cứu của trò.
* Phương pháp dạy học bồi dưỡng HSG:
- Bám sát phương pháp đặc trưng bộ môn.
- Thực hiện thiết kế BD HSG ngay từ dạy đại trà.
- Coi trọng dạy học nêu và giải quyết vấn đề.
- Khai thác triệt để yếu tố trực quan kết hợp với kiểu dạy học tín hiệu để định hướng suy nghĩ cho HS, dùng trực quan, trực giác để hỗ trợ tư duy. Điều này còn có ý nghĩa trong việc HS làm bài theo kiểu trắc nghiệm khách quan.

4- Dạy gì, học gì trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS ?
* Chất lượng học tập của trò thể hiện chất lượng giảng dạy của thầy; vì vậy mục tiêu của dạy học là ở học sinh; mục tiêu ấy thống nhất ở cả thầy và trò trên các phương diện sau:
1- Về kiến thức:
- Học sinh nắm vững kiến thức cơ bản của chương trình học.
- Học sinh được tiếp cận các kiến thức nâng cao phù hợp với chương trình và năng lực của học sinh, đáp ứng nhu cầu học lên và yêu cầu, mức độ của đề thi học sinh giỏi trong từng giai đoạn.
2- Về kĩ năng:
- Có kĩ năng cơ bản vững chắc.
- Biết vận dụng kiến thức và kĩ năng cơ bản vào việc giải quyết các tình huống toán học cụ thể trong phạm vi cấp học.
- Có kĩ xảo trong xử lí tình huống.
- Biết kết hợp giữa trực quan, trực giác với dự đoán, suy diễn.
3- Bồi dưỡng một số phẩm chất của con người mới.
- Yêu thích môn học, từ yêu thích đến nghiêm túc và luôn nhu cầu học tập, ham muốn tìm tòi nghiên cứu.
- Thoả mãn một phần nhu cầu cá nhân.
- Chắc chắn, cẩn thận, chính xác, linh hoạt, thích ứng, bình tĩnh, tự tin, biết tự đánh giá.
- Rèn luyện ngôn ngữ nói, ngôn ngữ viết và ngôn ngữ thầm.
- Bồi dưỡng năng lực tư duy, óc quan sát, phương pháp giải quyết vấn đề.
- Tự học và sáng tạo.
- Bồi dưỡng các phẩm chất của trí tuệ.
* Kiến thức cơ bản cần đặc biệt quan tâm:
- Bao gồm: Bài học cơ bản, bài tập cơ bản, thuật toán cơ bản, phương pháp cơ bản.
- Kiến thức thường xuất hiện trong nhiều mối quan hệ hình học, thường thể hiện dưới nhièu kĩ năng cơ bản, thường được vận dụng nhiều trong các tình huống toán học cụ thể, thể hiện được phương pháp cơ bản để vận dụng trong nhièu loại toán.
* Vài kiến thức hình học cần quan tâm bồi dưỡng:
- Trung điểm của đoạn thảng ( lớp 6 ) gắn với đường trung trực
( Lớp 6 ), trung tuyến ( lớp 7 ), tam giác bằng nhau ( lớp 7 ), đường trung bình và hình bình hành ( Lớp 8 ).
- Tam giác bằng nhau ( lớp 7 ), tam giác đồng dạng ( lớp 8)
- Hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Phần thứ hai: thiết kế bài dạy bồi dưỡng học sinh giỏi
theo hướng: kết hợp trong dạy học chính khoá với bồi dưỡng đội tuyển
Kiến thức cần dạy:
Trung điểm của đoạn thẳng
1- Cần thấy rõ sự liên hệ của kiến thức trong chương trình hình học THCS:
- Lớp 6: Trung điểm của đoạn thẳng - Đường trung trực
- Lớp 7: Trung tuyến - Tam giác bằng nhau
- Lớp 8: Đường trung bình - Hình bình hành
- Lớp 9: Dây cung.
2- Kỹ năng cần bồi dưỡng:
- Dựng hình, vẽ hình.
- Phương pháp suy nghĩ và vận dụng.
- Đường phụ.
- Đoán nhận, thử nghiệm.
- Lập luận và trình bày.
- Phương pháp đặc trưng.

Thiết kế bài dạy chính khoá và bồi dưỡng.
1- Trong dạy và học chính khoá:
Cần làm rõ khái niệm, cách vẽ ( thông thường ) tính chất trung điểm của đoạn thẳng dưới dạng tóm tắt và hình vẽ.
- Cách vẽ thông thường.
- Rèn luyện cách lập luận có căn cứ và cách chứng minh qua tóm tắt toán học hoá.
- Hướng dẫn học sinh xét quan hệ hình học giữa các đối tượng hình học ( ba đoạn thẳng )
2- Trong bồi dưỡng học sinh giỏi:
- Cách dựng trung điểm của một đoạn thẳng.
- Phương pháp vẽ đường phụ khi có dấu hiệu trung điểm.
- Một số bài toán cơ bản mang tính thuật toán.
Phần minh hoạ
Thiết kế bài dạy theo chủ đề " Trung điểm của một đoạn thẳng "
Trong dạy và học chính khoá
1- Tóm tắt mạch suy luận, phương pháp chứng minh, dấu hiệu nhận biết thông qua các kí hiệu hình học ( Trực quan - toán học hoá )

M là trung điểm của AB


M là trung điểm của AB

M AB MA = MB
2- Cách vẽ:
- Thông thường: Dùng đo đạc bằng dụng cụ.
- Lẽ ra phải vẽ đoạn thẳng trước, nhưng để đơn giản có thể vẽ theo theo quy trình sau:
3- So sánh các đoạn thẳng: AB với AM và MB; MA với AB.
4- Sử dụng trắc nghiệm khách quan và tự luận
5- ở hình 5 cho P là trung điểm của HG, HQ = GK thì P có là trung điểm của KQ không ?






Trong bồi dưỡng học sinh giỏi
Lớp 7
1- Bài toán 1:
Cho hình vẽ.





a- Có nhận xét gì về điểm H và thử chứng minh nhận xét đó.
b- Hãy đặt một đề toán.
c- Từ đó suy ra cách dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.
* Với cách làm trên chẳng những bồi dưỡng cho HS óc quan sát, nhận xét, phán đoán mà còn giúp các em chủ động đặt và giải quyết vấn đề.
- Rèn luyện ngôn ngữ, cách lập luận hình học và năng lực tư duy sáng tạo.
- Rõ ràng so với dạy đại trà thì yêu cầu đã cao hơn ở chỗ:
+ HS phải sử dụng nhiều kiến thức và kĩ năng như hai tam giác bằng nhau, trung điểm của đoạn thẳng, đường trung trực, đường tròn, kĩ năng sử dụng thức thước, com pa và tính chính xác trong sử dựng dụng cụ.
+ HS phải vận dụng kiến thức về hai tam giác bằng nhau để chứng minh được điểm đã dựng chính là trung điểm của AB.
+ Học sinh phải vẽ đoạn thẳng AB trước rồi mới dựng trung điểm của nó.
2- Bài toán 2: Cho ? ABC = ? MNK, kẻ các trung tuyến AD và ME.
a- Tìm các tam giác bằng nhau trên hình vẽ.
b- Hãy đề suất các bài toán tương tự.
c- Phát biểu tổng quát các bài toán đó.
3- Bài toán 3: Gọi I là trung điểm chung của hai đoạn thẳng AC và BD. Chứng minh AB = CD và AB ?? CD.
* Chú ý:
- Trong hai kết luận nên đưa kết luận hai đoạn thẳng bằng nhau lên trước thì HS dễ định ra hướng giải quyết hơn.
- Việc HS vẽ hai đoạn thẳng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn là không dễ, vì vậy nên hướng dẫn HS cách vẽ, vừa rèn luyện kĩ năng sử dụng dụng cụ, vừa định hướng tư duy cho HS trong quá trình xem xét bài toán ( Hầu hết các bài toán hình học, khi có quá trình vẽ hình đúng thì cũng có nghĩa là một ý nào đó của lời giải cũng đã xuất hiện ).


Đưa ra củng cố: AB = CD AB ?? CD
? ?
Xét sự bằng nhau của hai tam giác chứa chúng ? B = ? D
?
Xét sự bằng nhau của hai tam giác chứa chúng

Lợi dụng dấu hiệu I là trung điểm của AC và BD = 2 BI hướng dẫn học sinh nghiên cứu bài toán 4.
4- Bài toán 4: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
* ý tưởng của bài là ở chỗ:
- HS phải chuyển bài toán sang bài toán với kí hiệu toán học ( Toán học hoá lời văn ).
- Suy nghĩ điều kiện tồn tại, dấu hiệu đặc biệt.
- HS vẽ nhiều hình để chọn cách vẽ phù hợp.
- Kiểm tra sự vận dụng các bài toán trên vào việc tìm lời giải bài toán.
- HS xây dựng lược đồ chứng minh.
* Lược đồ tìm lời giải: AM = 1? 2 BC ? BC = 2 AM ( AM = BM = MC ) Tạo ra một đoạn thẳng bằng 2 AM ? Liên tưởng đến bài toán trên.
* Phương pháp vẽ đường phụ khi có dấu hiệu trung điểm của đoạn thẳng bằng cách sau: " Tạo ra AK = 2 AM " đối với các tam giác vuông, nhọn, tù.
5- Bài toán 5:
Cho tam giác nhọn ABC. Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C có bờ là đường thẳng AB vẽ tia Ax vuông góc với AB; trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B có bờ là đường thẳng AC vẽ tia Ay vuông góc với AC; trên tia Ay lấy điểm E sao cho AE = AC. Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh AM = 1 ? 2 DE.

* Hướng dẫn học sinh đọc đề, suy nghĩ các điều kiện trong đề và tìm các dấu hiệu đặc biệt.
- Học sinh tập vẽ hình ( bằng tay ).
- Chọn cách vẽ và vẽ hình chính thức.



- Học sinh xác định giả thiết, kết luận của bài toán.




Tìm hướng giải
nhờ dấu hiệu đặc biệt và phương pháp đã được học.









Hai hướng chứng minh AM = 1 ? 2 DE
Tạo ra AK = 2 AM Tạo ra 1 ? 2 DE
? ?
Dấu hiệu ? ABC, M là Dấu hiệu ? ADE, lấy N là
trung điểm của BC trung điểm của DE
? Đề suất chứng minh ?
AK = DE EN = AM


Hướng dẫn học sinh khai thác bài toán
1- Khai thác 1:
- Đặt vấn đề: Tại sao lại phải có điều kiện tam giác ABC nhọn ? Trong trường hợp tam giác ABC vuông hoặc tù thì các kết luận trên có còn đúng không ?
- Học sinh vẽ hình trong hai trường hợp.

- Học sinh suy nghĩ tìm cách chứng minh.
- Học sinh rút ra nhận xét: Khi tam giác ABC là tam giác vuông hoặc tù, ta vãn có kết luận tương tự.
- Giáo viên khẳng định:
+ Bài toán vẫn đúng khi góc A vuông hoặc tù.
+ Phương pháp giải không thay đổi.
+ Tuỳ yêu cầu để có thể ra các bài toán với mức độ khác nhau.
+ Kiến thức sử dụng: Lợi dụng quan hệ song song của hai đường thẳng và kiến thức về hai tam giác bằng nhau, kết hợp với phương pháp vẽ đường phụ về trung điểm của đoạn thẳng.
* Đối với lớp 8: Vẫn có thể ra bài toán này bằng cách học sinh vận dụng kiến thức về hình bình hành.
2- Khai thác 2: Hãy thử dự đoán kết quả của bài toán khi lấy các điểm D và E trên các nửa mặt phẳng còn lại ?
- Học sinh tự đặt vấn đề và tìm cách vẽ hình.
- Học sinh dự đoán kết quả và tìm tòi hướng giải quyết dự đoán.
- Học sinh rút ra kết luận.

* Nhận xét gì về hai đoạn thẳng BE và CD?
* Bài tập về nhà để củng cố, khắc sâu kiến thức và rèn luyện kĩ năng, vận dụng phương pháp.

Lớp 8 và lớp 9

Kiến thức về trung điểm của đoạn thẳng chẳng những là kiến thức trọng tâm của lớp 6, lớp 7 mà còn là kiến thức trọng tâm của chương trình toán THCS; mặt khác kiến thức này được xuất hiện khá phổ biến trong các bài kiểm tra của từng lớp, toàn cấp và trong các đề thi học sinh giỏi các cấp; vì vậy trong quá trình bồi dưỡng, ở các mức độ khác nhau, đối tượng khác nhau, người giáo viên nên lựa chọn các bài tập phù hợp để bồi dưỡng học sinh giỏi. Làm như vậy sẽ giúp cho học sinh vừa nắm vững kiến thức trọng tâm cơ bản của chương trình, vừa rèn luyện cho học sinh kĩ năng vẽ hình, óc quan sát, phương pháp vận dụng kiến thức và quan trọng hơn cả là bồi dưỡng tính chủ động, tích cực học tập, sự say mê ham thích môn học, nhu cầu học tập và năng lực tư duy sáng tạo - Điều quan trọng nhất của người học sinh giỏi.

Xin giới thiệu một số bài toán trong thiết kế bài bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 để các bạn đồng nghiệp tham khảo.

Chủ đề kiến thức:
Trung điểm của đoạn thẳng
Lớp 8
Bài 2:
Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm B và C, trên tia Oy lấy hai điểm A và D sao cho BC = AD. Gọi I và K thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng IK luôn song song với một đường thẳng cố định khi các điểm A, B, C, D thay đổi.


Bài 1:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. M là điểm di động trên cạnh BC. Các điểm D, E và H thứ tự là hình chiếu của điểm M trên các đường thẳng AB , AC và DE. Chứng minh rằng đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định.


Thời luợng của một buổi bồi dưỡng học sinh giỏi thường tương ứng với 3 tiết học. Vì vậy giáo viên nên chọn vừa đủ số lượng bài tập có tính đặc trưng về kiến thức và phương pháp để vừa tránh quá tải, nhồi nhét, vừa để học sinh chủ động, tích cực và sáng tạo. Xin giới thiệu với các bạn một số bài toán trong số đó. Những bài toán này có thể khai thác thành nhiều bài toán khác nhau dưới các góc độ khác nhau, phương diện vận dụng kiến thức khác nhau.
Bài 3:
Cho hình chữ nhật ABCD. Qua điểm E trên đường chéo AC vẽ đường thẳng song song với BD, đường thẳng này cắt các đường thẳng AD và CD thứ tự ở M và N. Gọi F là đỉnh của hình chữ nhật DMFN. Chứng minh E là trung điểm của đoạn thẳng BF.


Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Gọi M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh AM = AB.

Lớp 9
Bài 1:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại K. Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA; E, F, G, H lần lượt là hình chiếu của điểm K trên các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng:
a- Các điểm M, N, P, Q, E, F, G, H nằm trên cùng một đường tròn.
b- Các đường thẳng OK, NQ, MP đồng quy.
Số lượng bài tập cho một chủ đề thường nên từ 3 đến 5 bài.
Bài 2:
Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm K. Hãy dựng một đường thẳng qua K chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.


Bài 3:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D. Đường thẳng qua D song song với AB cắt đường tròn tại E và F, cắt AC tại K. Chứng minh K là trung điểm của EF.
( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá năm học 1997 - 1998, ngày 31 tháng 3 năm 1998)

Các bạn đồng nghiệp thân mến !
Có nhiều học sinh giỏi, nhất lại là có nhiều học sinh đạt giải học sinh giỏi các cấp là khát vọng của học sinh, phụ huynh và tất cả những người làm nghề dạy học. Song để đạt được điều đó phải có quá trình dạy và học thực sự nghiêm túc kiên trì, tâm huyết và sáng tạo.
Kết quả của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi phụ thuộc vào nhiều yếu tố, nhưng quan trọng hơn cả vẫn là yếu tố người thầy; vì theo lí luận dạy học thì người thầy quyết định chất lượng giáo dục.
Nền móng chắc thì nhà vững bền, gốc có nhiều rễ bám sâu vào lòng đất thì cây sẽ mang được cành lá sum xuê, đất màu mỡ thì cây sẽ tốt tươi và cho hoa thơm quả ngọt.
Trong khuôn khổ của một hội thảo, tôi muốn trao đổi với các bạn một vài vấn đề được đúc rút từ thực tiễn của quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi. Có thể chưa đáp ứng được những đòi hỏi của các bạn, cũng có thể vấn đề đưa ra chưa thực sự thuyết phục. Rất mong các bạn đồng nghiệp trao đổi để chất lượng học sinh giỏi của chúng ta khởi sắc hơn.
Dạy học là một nghệ thuật, mà nghệ thuật lại do chính mỗi người sáng tạo ra.
Bởi vậy cần hướng tới kiểu dạy mà học sinh học một biết . năm, sáu.
Chúc các bạn thành công.
Phạm Ngọc Thanh - THCS Tây Đô