Hướng dẫn giải 9/60 bài toán hình ôn thi kì 2 và TS 10

HƯỚNG DẪN GIẢI 9/60 BÀI TOÁN HÌNH ÔN TẬP
(Đề bài đã gứi vào 19/03/2010 trên violet hay tìm ở trang riêng)
Bài 1:
1. Chứng minh


(định lí tổng ba góc của tam giác)
I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI, BI
là phân giác các góc BAC và ABC.
Do đó
.
Vậy:
.Thay
bằng tổng ba góc của tam giác ABC và chú ý

ta được
=

=

2. Chứng minh 5 điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đường tròn:
Do M, E là các tiếp điểm trên các cạnh AB, AC của đường tròn ( I) nên
(*)
Ta cần chứng minh
, nghĩa là chứng minh tứ giác AEKI nội tiếp, nghĩa là cần
chứng minh
.
Ta có: CE = CN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên tam giác CEN cân ở C.
Suy ra:
(1)

=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
. Do đó tứ giác AEKI nội tiếp. Suy ra
(**)
Từ (*) và (**) suy ra 5 điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đường tròn đường kính AI.
3. Chứng minh KT. BN = KB. ET
Đẳng thức cần chứng minh gợi ý chứng minh tỉ lệ thức
, tuy nhiên hai tam giác
KBN và KET không thể đồng dạng được (quan sát hình vẽ ), tìm hai tỉ số này bằng hai tỉ
số tương ứng khác , với chú ý


, tính chất tia phân giác AI của
và hai
tam giác KBA và NBI đồng dạng thì mới giải quyết được đpcm.

và
có
chung ,
(chứng minh trên) nên


(góc góc)
Do đó:
. (4)
Tam giác ABT có AI là phân giác của
nên
(5)

và

có
=
,




(gg)
(6)
Từ (4), (5), (6) suy ra:
hay KT. BN = KB. ET (đpcm)

Bài 2: (hướng dẫn)
1. Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp:
Nêu lí do hai góc BEC và BDC là các góc vuông
đpcm
2. Xử dụng tính chất tứ giác nội tiếp BEDC ta có ngay

(cùng bù
)
3. Xử dụng hệ quả của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
Với góc nội tiếp để có
kết hợp câu 2 ta được

, hai góc này ở vị trí so le trong từ đó
đpcm
4. Có nhiều cách chứng minh, thông dụng nhất là xử dụng tính chất tam
giác cân MON, lí giải OA vuông góc MN (do OA
xy và xy // MN) .
Cách sau đây hay hơn nhiều:
xy // MN
, OM = ON do đó OA là đường trung trực MN.
Vậy
(tính chất đối xứng) , từ đó
đpcm
5. Chứng minh



đpcm.
Bài 3:
1. Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp:
Gọi O là trung điểm BC
(1) (tính chất đường
trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền).
Từ OA = OC và EA = EC (do E thuộc đường trung trực AC)
Nên OE
AC, từ đó AB // OE (cùng
AC). I
Do đó:
(so le trong), mà
(gt) suy
ra
. Vậy
cân ở O nên OB = OE (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OA = OB = OC = OE. Điều này chứng tỏ tứ giác
ABCE nội tiếp. Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCE.
2. Tính BE.
Tam giác ABC có O là trung điểm BC, OE // AB nên OE đi qua trung điểm
I của AC. Vậy OI là đường trung bình
nên OI =
(cm).
OE = BC : 2 = 25 cm , từ đó EI = 18 cm.
Tam giác OIC vuông ở I nên IC =
cm.
Tam giác EIC vuông ở I nên EC =
cm
Tam giác BEC vuông ở E nên BE =
cm
3. Chứng minh các đường thẳng BE, AF, PO đồng qui.
Ta có
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) )
Suy ra : EB, FA là hai đường cao của tam giác PEF
Tứ giác ABFE nội tiếp