Hướng dẫn khai thác một số bài toán hình học tiêu biểu

Bài 1: (Đề thi vào lớp 10 năm học 1995-1996.)
Cho nửa đường tròn đường kính AB, C là điểm chạy trên nửa đường tròn (không trùng với A và B). CH là đường cao của tam giác ABC. I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AC và BC. M, N lần lượt là trung điểm của AH và BH.
a) Tứ giác CIHK là hình gì? So sánh CH và IK.
b) Chứng minh tứ giác AIKB là tứ giác nội tiếp?
Xác định vị trí của C để:
+ Chu vi tứ giác MIKN lớn nhất?

+ Diện tích tứ giác MIKN lớn nhất?
Hướng dẫn
a) -Tứ giác CIHK là hình chữ nhật (có 3 góc vuông).
- CH = IK (t/c hình chữ nhật).
(do CIHK là hình chữ nhật)
(do cùng phụ
mà
(hai góc bù nhau)

Tứ giác AIKB nội tiếp.
b)
c) Dễ thấy IM=AM; KN=NB (t/c tam giác vuông)
+ Chu vi tứ giác MIKN bằng: IM+MN+NK+KI
= AM+MN+NB+CH
= AB+CH mà AB có độ dài không đổi.
Chu vi tứ giác MIKN lớn nhất
CH lớn nhất

C là điểm chính giưa của cung AB
+ S(MNKI)= S(IMH)+S(NHK)+S(IHK)


AB có độ dài không đổi.
Diện tích tứ giác MIKN lớn nhất
CH lớn nhất

C lµ ®iÓm chÝnh gi­a cña cung AB.
Khai thác bài toán: Hãy chứng minh:
d) Tứ giác IMNK là hình thang.
e) IK là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính AH và BH.
f) Cho biết AH = 2cm. HB = 8cm.
+ Tính MN?
+ Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi ba nửa đường tròn đường kính AB, AH và BH
Hướng dẫn:
d) Chứng minh IM//NK.
e) - Chứng minh I và IK vuông góc với IM
IK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH (1).
- Chứng minh K và IK vuông góc với KN
IK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH (2).
Từ (1), (2) suy ra : IK là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính AH và BH.
f) - Tính MN.
- Gọi S là diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi ba nủă đường tròn thì S bằng diện tích của nửa đường tròn đường kính AB trừ đi tổng diện tích của hai nửa đường tròn đường kính AH và BH.
Bài tập tuơng tự.
Bài 1.1
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn (A khác B,C). Hạ AH vuông góc với BC (HBC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn (I) đường kính BH và nửa đường tròn (K) đường kính CH, chúng lần lượt cắt AB và AC tại D và E.
1/ Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
2/ Chứng minh AD.AB=AE.AC.
3/ Chứng minh BCED là một tứ giác nội tiếp.
4/ Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng với H qua AB, AC. Chứng minh MN là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
5/ Cho biết BC = 50cm, DE = 20cm. Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn (O), (I), (K).
Bài 2: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2001-2002, ngày thứ nhất).
Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Vẽ hình bình hành BHCD, M là trung điểm của BC.
a/ Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp trong đường tròn đường kính AD.
b/ Chứng minh .góc CAD ằng góc BAH
c/ Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC. Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng và OH=3OG.
a/ DC//BH (vì BHCD là hình bình hành)
DC AC hay
Tương tự
Tứ giác ABCD có nên nội tiếp đường tròn đường kính AD. Có tâm O là trung điểm của AD.
Hướng dẫn
b/ Chứng minh và cùng bằng
Nối OH cắt AM tại K suy ra K là trọng tâm của tam giác AHD.

(1)
Theo gia thiết: G là trọng tâm của tam giác ABC
(2)
vậy H, G, O thẳng hàng.

G là trọng tâm của tam giác AHD
HO = 3GO
Khai thác bài toán.
Gọi E là giao điểm của CH và AB; N là giao điểm của BH và AC; F là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHN. Chứng minh rằng FE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
Hướng dẫn:
Dễ thấy F là trung điểm của AH. Ta cần chứng minh E thuộc đường tròn đường kính BC và FE vuông góc với bán kính đường tròn đường kính BC tại tiếp điểm E.
Tứ giác BENC nội tiếp đường tròn đường kính BC, tâm là M
E thuộc đường tròn đường kính BC (1).
Ta có
(do tam giác AEF cân tại F)

(do tam giác CME cân tại M)
Mà
(cùng phụ với góc ABC)

Do
Suy ra đpcm
Bài tập tương tự:
Bài 2.1:(Đề thi GVG năm 2009-2010).
Cho BC là một dây của đường tròn (O;R), BC<2R, A là một điểm di chuyển trên cung lớn BC sao cho điểm O luôn nằm trong tam giác ABC các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H.
a/ Chứng minh rằng tam giác AEF và tam giác ABC đồng dạng.
b/ Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH=2OM.
c/ Gọi N là trung điểm của EF. Chứng minh rằng: R.AN = AM.OM.
Hướng dẫn:
)Tứ giác BFEC nội tiếp (vì
cùng nhìn BC)

Mà (hai góc kề bù) suy ra (1)
Suy ra


) kéo dài AO cắt (O) tại điểm thứ hai là K. Ta chứng minh được tứ giác BHCK là hình bình hành suy ra M là trung điểm của HK.
Xét tam giác AHK có OM là đường trung bình suy ra hay AH = 2OM
c) Ta có
theo câu a. Mà AN là trung tuyến của tam giác AFE, AH là đường kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác AFE.
Mà AM là trung tuyến của tam giác ACB, AK là đường kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC
mà AH = 2OM; AK = 2R.

R.AN = AM.OM


Bài tập tương tự:
Bài 2.2:(Đề thi tốt nghiệp THCS năm 2004).
Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H (DAC, EAB). Gọi I là trung điểm của BC, K là điểm đối xứng với H qua I và F là trung điểm của AH . Chứng minh rằng.
a/Tứ giác BHCK là hình bình hành?
b/Tứ giác ABKC là tứ giác nội tiếp?
c/ EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.


Bài 2.3: (Đề thi ào lớp 10 năm học 2001-2002).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BD, CE của tam giác cắt nhau tại H à cắt đường tròn (O) tại theo thứ tự tại N à M.
a/ Chứng minh tứ giác EBCD nội tiếp.
b/ Chứng minh MN//ED.
c/ Chứng minh: OA vuông góc với ED.
d/ A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O), chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD có đường kính không đổi.
Bài 3: (Đề thi vào lớp 10 NK Ngô Sỹ Liên năm học 2004-2005).
Cho tam giác ABC (AC>AB, góc BAC > 90). Vẽ đường tròn (O1) đường kính AB và đường tròn (O2) đường kính AC. (O1) cắt (O2) tại điểm thứ hai là D. đường thẳng AB cắt (O2) tại điểm thứ hai là E, đường thẳng AC cắt (O1) tại điểm thứ hai là F, DF kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại G. Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác BCEF nội tiếp được trong một đường tròn.
b/ Các đường thẳng AD, BF và CE đồng quy.
c/ DE = DG.
/ Chứng minh



Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC
/ Gọi I là giao điểm của BF và CE
Chỉ ra BE, CF là hai đường cao của tam giác BIC
Chỉ ra D thuộc BC và
AD đi qua I.
các đường thẳng AD, BF, CE đồng quy

C
c/ Ta cần chứng minh
hai góc này cùng bằng góc EAC:
Thật vậy:
(cùng bù với góc EAF) (1)
(cùng chắn cung AD của (O2)) (2)
(cùng bù với góc AFG)
(cùng chắn cung AD của (O1))
Suy ra
(3)

Từ (2) (3)
(4)
là góc ngoài của tam giác ABC).
Từ (1) và (4)
cân tại D
DE = DG.
C
Khai thác bài toán:
e/ Theo phần b, gọi I là giao điểm của BE và CF. Hỏi I có thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF không? Nếu có hãy chứng minh?
f/ Chứng minh BC // EG. Hướng dẫn dựa vào phần c.
g/ Chứng minh AI vuông góc với EG
(Bài tập tương tự)
Bài 3.1: Đề thi HSG cấp tỉnh năm học 2001-2002
Cho tam giác ABC (AC>AB, >90). I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểm thứ hai E; tia CA cắt đường tròn (I) tạ điểm thứ hai F. Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác BFEC nội tiếp được trong một đường tròn.
b/ Ba đường AD, BF, CE đồng quy.
c/ Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH và DE.
d/ Gọi R là giao của AB và DF. Chứng minh rằng:

Bài 5: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2004-2005).
Bài 4: Cho đường tròn tâm (O) bán kính R, hai điểm C, D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ DC. Kẻ đường kính BA; trên tia đối của tia AB lấy điểm S nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H.
a/ Chứng minh: từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp
b/ Chứng minh: HK//CD.
c/ Chứng minh: OK.OS=R.R

Hướng dẫn:
a) (chắn hai cung bằng nhau) suy ra tứ giác AMHK nội tiếp.
b) Dễ thấy AB CD nên để chứng minh HK//CD ta cần chứng minh HK AB.
Thật vậy: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Mà theo câu a tứ giác AMHK nội tiếp


suy ra HK AB suy ra ĐPCM
c) Cần chứng minh
. Hai tam giác này đã có
ta cần chứng minh
do tam giác SCD cân (*)
Dựa vào góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung
từ đó suy ra
(**)
Từ (*) (**) suy ra


suy ra đpcm
Khai thác bài toán:
Với các bước chứng minh ở phần c, ta thấy tứ giác ODSM cũng nội tiếp
Bài 6: (Đề thi vào lớp 10 năm 2001-2002).
Cho tam giác ABC có các góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M (M không trùng với A và C). Từ M hạ MD vuông góc với BC; ME vuông góc với AC (D thuộc BC, E thuộc AC)
a/. Chứng minh tứ giác DCME nội tiếp được trong một đường tròn.
b/. Chứng minh tam giác AMB đồng dạng ới tam giác EMD.
c/. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, ED. Chứng minh IJMJ.

Hướng dẫn:
a/. Chứng minh tứ giác DCME nội tiếp được trong một đường tròn đường kính MC
vì
b/. Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác EMD. Ta có (Theo câu a tứ giác MEDC nội tiếp)
Mặt khác (hai góc nội tiếp chắn cung AM
(1)
Tương tự: (2) (vì cùng bằng góc ACB)

Từ (1), (2) suy ra .
c/.
và
(3). Và
(4).
suy ra đpcm
Từ (3), (4)
Bài 7: (Đề thi GVG năm 2007-2008)
Cho hình thang ABCD (AB//CD), hai đường chéo cắt nhau tại O.
a) Chứng minh rằngS(AOD) = S(BOC).
b) Cho biết S(AOB )= a2; S(COD) = b2, Tính S(ABCD )
) Vì AB//CD nên SADC = SBDC (vì có cùng đáy DC và hai chiều cao ứng với DC bằng nhau).


Hay
b) Ta đặt Hai tam giác AOB và COD có cùng chiều cao hạ từ

đỉnh B nên (1)


Tương tự: (2)

Từ (1), (2) suy ra Vậy