HSG lop 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 9-THCS NĂM 2011
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
Ngày thi : 23.03.2011

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1 : (4 điểm) Thu gọn các biểu thức:
A =
với
.
B =
với
.
Bài 2 : (4 điểm)
Chứng minh
với a, b, c, d là các số thực.
Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
.

Bài 3: (3 điểm)
Cho phương trình:
(
là ẩn số)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.

Bài 4: (3 điểm)
a) Giải hệ phương trình
.
b) Chứng minh rằng số có dạng
chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n.

Bài 5 : (4 điểm)
Trên hai cạnh Ox, Oy của góc vuông xOy ta lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB. Một đường thẳng đi qua A cắt OB tại M (M ở trong đoạn thẳng OB). Từ B kẻ đường vuông góc với AM, cắt AM tại H, cắt AO kéo dài tại I.
Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHI là tứ giác nội tiếp được.
Từ O kẻ đường vuông góc với BI tại K. Chứng minh OK = KH. Điểm K di động trên đường cố định nào khi M di động trên OB?

Bài 6 : (2 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại B và góc ABC bằng 80o. Lấy điểm I trong tam giác ABC sao cho góc IAC bằng 10o và góc ICA bằng 30o. Hãy tính góc AIB.

HẾT

ĐÁP ÁN
Bài 1 : (4 điểm) Thu gọn các biểu thức:
a)A =
với
.
b)B =
với
.
Giải:
A =


b) B =
với

B=



Bài 2 : (4 điểm)
a)Chứng minh
với a, b, c, d là các số thực.

Giải:
Nếu ad + bc < 0 : Bất đẳng thức đúng.
Nếu ad + bc
0 :
Bất đẳng thức tương đương với :




( đúng)

b)Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
.
Giải:
Ta có :
( đúng)
Nên :

Tương tự ta cũng có :
và

Cộng ba kết quả trên ta có đpcm.

Bài 3: (3 điểm)
Cho phương trình:
(
là ẩn số)
a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.



Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì :


b)Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
Do câu trên ta có hai nghiêm của phương trình là :

Để phương trình có ít nhất một nghiệm dương:


c)Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.

Để phương trình có ít nhất một nghiệm âm:


Bài 4 : (3 điểm)
a)Giải hệ phương trình
.
(1) :

Thay vào (2) :




; z=


b)Chứng minh rằng số có dạng
chia hết cho 24 với mọi số tự
nhiên n:

Ta phân tích được :A=

Trong hai số n và n+1 có một số chẵn nên A chia hết cho 2
Trong ba số liên tiếp n, n+1 và n+2 có một số là bội của 3 nên A chia hết cho 3.
Trong bốn số liên tiếp n, n+1 , n + 2 và n+3 có một số là bội của 4 nên A chia
hết cho 4.
Vậy A là bội của 24. ( đpcm)

Bài 5 : (4 điểm)
Trên hai cạnh của góc vuông xOy ta lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho
OA = OB. Một đường thẳng đi qua A cắt OB tại M (M ở trong đoạn thẳng OB).
Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H, cắt AO kéo dài tại I.
a)Có nhận xét gì về hai đoạn OI và OM, về tứ