HSG CHUYÊN A03

ĐỀ ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2013-2014
MÔN: TOÁN
(Dành cho trường chuyên Vĩnh Phúc)
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề




Câu 1 (3,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình:

b) Cho đa thức với hệ số thực
thoả mãn
. Tính
.
Câu 2 (1,5 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên dương
thoả mãn phương trình:


Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AH và tâm đường tròn nội tiếp là I. Đường thẳng AI cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai M. Gọi A` là điểm đối xứng với A qua O. Đường thẳng MA` cắt các đường thẳng AH, BC theo thứ tự tại N và K.
1) Chứng minh rằng tứ giác NHIK nội tiếp đường tròn.
2) Đường thẳng A`I cắt lại đường tròn (O) tại điểm thứ hai D, hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại điểm S. Chứng minh rằng nếu
thì I là trọng tâm của tam giác AKS.
Câu 4 (1,5 điểm). Cho các số thực
thoả mãn
và
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho tập hợp M gồm 2014 số dương
Xét tất cả các tập con khác rỗng
của M, gọi
là tổng các số thuộc tập con
. Chứng minh có thể chia tập hợp tất cả các số
được thành lập như vậy thành 2014 tập con khác rỗng không giao nhau, sao cho tỉ số của hai số bất kì thuộc cùng một tập tập con vừa được phân chia không vượt quá 2.


--------------Hết--------------


Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.


Họ tên thí sinh…………………………………………….Số báo danh……………………...

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN MÔN TOÁN HSG 10 - CHUYÊN
Câu 1 (3,0 điểm)
Ý
Nội dung trình bày
Điểm

a
(1,5điểm)

.

không thoả mãn hệ.
chia hai vế phương trình thư nhất trong hệ cho y và chia hai vê phương trình thứ hai trong hệ cho
ta được
0.25




0.50


Đặt

0.25


Hệ có dạng

0.25




0.25

b (1,5điểm)
Nhận xét
thoả mãn

0.50


Xét đa thức
là đa thức bậc 4 có các nghiệm là

0.25


Nên

0.25


Ta có

0.25


Vậy

0,25

Câu 2 (1,5 điểm)
Nội dung trình bày
Điểm



0.25



0.25



0.25

Do
nguyên dương nên
và

0.25

Vậy

0.25

Vậy phương trình có nghiệm

0.25

Câu 3 (3,0 điểm)
Nội dung trình bày
Điểm

1) (1,5 điểm).






Ta có
mà AI là phân giác góc A nên
, suy ra tam giác ANA` cân tại A.
0,25

Gọi L là giao điểm của MA và BC.
Ta có
, suy ra tứ giác ALA`K nội tiếp.
Do đó
(1)

0,5

Dễ thấy ngay hai tam giác
và
đồng dạng, suy ra
(2)
0,25

Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên
(3).
0,25

Từ (1), (2), (3) suy ra
. Vậy tứ giác NHIK nội tiếp.
0,25






2) (1,5 điểm)


* Từ tứ giác NHIK nội tiếp suy ra
. Suy ra tứ giác AIHS nội tiếp. Do đó
.
0,25

Gọi T là trung điểm của cạnh SA. Khi đó
, suy ra ba điểm
thẳng hàng (4).
0,25

* Tiếp theo ta sẽ chứng minh L là trung điểm của SK.
Ta có
và

Do đó
(5)
0,50

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ASL với cát tuyến TIK ta có:

(6). Từ (5) và (6) suy ra
, tức L là trung điểm của SK (7).
Từ (4) và (7) suy ra I là trọng tâm tam giác AKS (đpcm).
0,50


Câu 4 (1,