HSG CHUYÊN A02

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KỲ THI HSG THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Môn: TOÁN 10 (Dành cho học sinh THPT Chuyên)


Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)


Ngày thi:


Câu 1. Tìm tất cả các hàm số
xác định trên tập số thực, nhận mọi giá trị thực và thỏa mãn


Câu 2. Xét 2014 số thực không âm
thỏa mãn


(phép cộng ở đây lấy theo modulo 2014). Tìm giá trị lớn nhất có thể được của tổng


Câu 3. Trong mặt phẳng cho trước đường tròn
và một điểm
không nằm trên đường tròn. Hai đường thẳng
và
tùy ý đi qua P, theo thứ tự cắt
tại các điểm
và
Các đường tròn
cắt nhau tại điểm thứ hai Q. Gọi
theo thứ tự là các điểm xuyên tâm đối của P trên các đường tròn
Gọi
tương ứng là tâm của các đường tròn

Chứng minh rằng các điểm
cùng nằm trên một đường thẳng.
Gọi M là trung điểm của
là trung điểm của
Chứng minh rằng các điểm
và O cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh rằng O cách đều

Câu 4. Xét tập hợp
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương
tồn tại một tập con gồm
phần tử của S mà có một tử bằng tổng k phần tử còn lại.
Câu 5. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên
số


chia hết cho
nhưng không chia hết cho



Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………….………..………..Số báo danh……………………