Hsg cap 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1)
Môn: TOÁN ( BẢNG A ). Ngày thi: 06/10/2011
ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn có 04 trang )

Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

Câu
Đáp án
Thang điểm

1
(5,0 điểm)
a. ( 3,0 điểm )


Đặt
. Khi đó phương trình trở thành:




0,5




(*)
0,5



(*)


0,5




( Với
thì
có một nghiệm là

( Với
thì
có một nghiệm là


0,5



( Khi
thì


hoặc
.


0,5



(Khi
thì


hoặc
.



0,5


b. ( 2,0 điểm )



Phương trình đã cho được viết lại:




0,5






0,5




hoặc




0,5


(
,

(
phương trình vô nghiệm.


0,5


2
(5,0 điểm)

a. (2,0 điểm )


( Chọn hệ trục tọa độ
vuông góc sao cho tia
qua A và tia
qua C. Ta có:
,
,
. Giả sử
.


0,5



(





.


0,5



( Phương trình trên là phương trình của một đường tròn tâm
, bán kính
.

0,5




( Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm
, bán kính
.

0,5


b. ( 3,0 điểm )


Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
( Xét trường hợp:

Ta có:



Vậy AC2 = 112




0,5



Vậy AB2 = 52

0,5


Vậy độ dài trung tuyến còn lại :




0,5


( Xét trường hợp:

Ta có :



Vậy AC2 = 208


0,5




Vậy AB2 = 148




0,5


Vậy độ dài trung tuyến còn lại :


0,5


Câu
Đáp án
Thang điểm

3
(4,0 điểm)
a. 2,0 điểm


Dễ thấy

Từ
.

0,5



Đặt
thì có:
.
0,5



Đặt
thì ta có:

. Từ đây suy ra
là cấp số nhân với
, công bội
là 3.


0,5


Nên:
.


0,5


b. 2,0 điểm





0,5





0,5





0,5







0,5


4
(3,0 điểm)
 Chứng minh được:

0,5



 Suy ra:
và

0,5





0,5 + 0,5




 Vậy GTLN của M là

0,5




 Giá trị này đạt được khi
.

0,5

5
(3,0 điểm)























 Viết lại hệ:


0,5






Đặt
. Dễ có:
.
Hệ trở thành:





0,5





Suy ra:


0,5


 Xét hàm
với
.





0,5



Bảng biến thiên:










 +


















0,5





Kết luận :
.


0,5