Hinh hoc so cap

Chương 1. Cơ sở hình học và Phương pháp tiên đề

Mục tiêu
1. Nắm được một số vấn đề về cơ sở hình học.
2. Nắm được lịch sử của phương pháp tiên đề.
3. Nắm được nội dung và yêu cầu cơ bản của một hệ tiên đề.
4. Nghiên cứu một số hệ tiên đề xây dựng hình học ở nước ta hiện nay và tham khảo chương trình SGK hình học của một số nước trên thế giới.


Điều kiện tiên quyết
1. Nắm được các tiên đề xây dựng hình học được trình bày trình bày trong SGK phổ thông.
2. Nắm được hệ tiên đề xây dựng không gian véctơ khi học môn Đại số tuyến tính ở trường đại học.
3. Biết đánh giá chương trình và cách xây dựng SGK phổ thông hiện nay.
Cơ sở hình học
Ngay từ những năm đầu ở trường tiểu học, học sinh đã được biết các khái niệm hình học như điểm, đoạn thẳng, hình chữ nhật, hình tam giác, đường thẳng… sau đó là mặt phẳng, khối lập phương, khối hộp chữ nhật,… Tất cả các khái niệm đó chỉ được mô tả bằng hình vẽ hoặc các mô hình trực quan. Tuy nhiên trong cách trình bày hình học truyền thống, người ta chỉ mô tả một số khái niệm gọi là các khái niệm cơ bản như điểm, đường thẳng, mặt phẳng, điểm thuộc đường thẳng, một điểm ở giữa hai điểm, hai đoạn thẳng bằng nhau, còn các khái niệm khác của hình học đều được định nghĩa chính xác. Trong cách trình bày truyền thống của hình học, người ta cũng thừa nhận một số khẳng định của hình học, gọi là các tiên đề, nói lên tính chất các khái niệm cơ bản, sau đó chứng minh các khẳng định của hình học. Cách trình bày hình học như vậy được dùng để giảng dạy bộ môn hình học trong trường phổ thông không những ở nước ta mà ở hầu hết các nước khác trên thế giới. Người đặt nền móng cho cách trình bày hình học như vậy là nhà toán học Ơclít sống ở Alexandri vào khoảng những năm 300 trước công nguyên.

 
Nhà Toán học Ơclít (325 - 265 Tr.CN)
Trong phần cơ sở hình học này, chúng ta sẽ đi tìm hiểu về hình học ơclít, đặc biệt là tác phẩm "Nguyên lý" hay (Cơ bản) của ơclít. Sau đó, tập trung vào phân tích những mâu thuẫn trong định đề V và dẫn đến sự ra đời của hình học Lôbasepxki - Bolyai Jénos, một thứ hình học phi ơclít.
Tác phẩm "Nguyên lý" của ơclít
Hình học sơ cấp là một trong những khoa học cổ nhất. Từ thế kỷ thứ VII đến thế kỷ thứ III trước công nguyên, các kiến thức hình học dần dần được hệ thống lại mang tính chất của một bộ môn khoa học. Công lao ấy thuộc về các trường phái toán học và triết học của Talét, Pitago, Aristốt, Đêmôcret… Những công trình nghiên cứu của các nhà toán học cổ đại đã được tổng kết và hoàn tất xuất sắc trong tác phẩm của Ơclít nhan đề "Nguyên lý", viết vào khoảng 300 năm trước công nguyên.
* Tác phẩm "Nguyên lý" gồm 13 quyển: Quyển I. Nói về các trường hợp bằng nhau của tam giác, sự so sánh về cạnh và góc trong một tam giác, sự vuông góc và sự song song của các đường thẳng. Trong quyển này cũng đề cập tới các tính chất của hình bình hành, diện tích một số hình phẳng và định lý Pitago. Quyển II. Nói về sự đẳng hợp của các hình phẳng. Quyển III. Nói về đường tròn và một số vấn đề có liên quan trực tiếp tới đường tròn, chẳng hạn như các tính chất của tiếp tuyến, dây cung của đường tròn,… Đặc biệt, ở đây có định lý về phương tích của một điểm đối với một đường tròn. Quyển IV. Nói về phép dựng các đa giác đều nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn với số cạnh bằng 3, 4, 5, 10, 15. Quyển V. Nói về lí thuyết tỉ lệ thức thông qua nội dung hình học, với lí luận khá chặt chẽ và chính xác. Quyển VI. Nói về lí thuyết đồng dạng của các hình phẳng. Các quyển VII, VIII, IX có nội dung số học, nhưng được trình bày dưới dạng hình học. Quyển X. Nói về các phép dựng hình để tìm căn bậc hai của các số tự nhiên. Ba quyển cuối cùng của tác phẩm trình bày về hình học không gian : Quyển XI. Nói về vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng, và góc đa diện và các hình chóp có cùng chiều cao và cùng diện tích đáy. Quyển XII. Nói về diện tích hình tròn, thể tích các hình khối đồng dạng, thể tích các hình lăng trụ, chóp, trụ, nón. Quyển XIII. Nói về hình