Hình học lớp 12 - mặt cầu

Kính chào quý Thầy Cô
Kiểm tra bài cũ
Câu hỏi 1: Khoảng cách từ một điểm O đến một mặt phẳng (P)?

.O
H
M
Gọi H là hình chiếu của O lên mp(P)
d[O,(P)] = OH
Kiểm tra bài cũ
Câu hỏi 2: Vị trí của một điểm A đến mặt cầu S(O;R)?
A nằm ngoài (S) ? OA > R
A nằm trong (S) ? OA < R
A nằm trên (S) ? OA = R
A
A
A
R
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
I. VTTĐ của một mặt cầu và một mp
Cho 1 mặt cầu S(O; R) và 1 mp (P) bất kì.
Gọi H là hình chiếu của O trên mp(P) và d = OH là
khoảng cách từ O đến (P). Ta xét các trường hợp
Trường hợp 1: d> R
Nếu d> R
thì (S) ? (P) =
p
.O
H
M
R
d
I. VTTĐ của một mặt cầu và một mp
Trường hợp 2: d = R
Trường hợp 3: d < R
H
M
P
.O
R
d
P
.O
M
H
R
d
Nếu d = R
thì (S) ? (P) =
Ta nói (P) tiếp xúc với (S)
H gọi là tiếp điểm của (S) và (P)
(P) gọi là tiếp diện của (S)
Nếu d < R
thì (S) ? (P) = C(H ; r)
Với r =
Chú ý: d = 0 thì r = R. Khi đó:
C(O; R) là đường tròn lớn của S(O ; R)
Ví dụ 1
Xác định thiết diện tạo bởi mp (P) với mặt cầu S(O; R ) biết khoảng cách từ O đến (P) là
Giải
Gọi H là hình chiếu của O xuống mp (P)
d[O; (P)] = OH =
Vì OH = d < R nên (P) cắt (S) theo đường tròn C(H ; r ) với
r =
=
=
P
r
R
.O
d
H
II. VTTĐ của một mặt cầu và một đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và một đường thẳng ? bất kì.
Nếu ? đi qua O thì ? cắt mặt cầu tại 2 điểm A,B với AB là đường kính của mặt cầu.
R
O
A
B

Nếu ? không đi qua O thì mp(O ; ?) cắt (S) theo đường tròn lớn C(O; R). Khi đó ? ? (S) = ? ? (C).
Gọi d = OH là khoảng cách từ O đến ?.
Ta có 3 trường hợp:
O

(C)
H
R
.
O
.
H
.
.
A
B
(C)

P
1. Nếu d > R
? ? (S) =
2. Nếu d = R
? ? (S) =
thì
thì
(?) tiếp xúc với (S)
3. Nếu d < R
(?) cắt (S) tại 2 điểm
thì
d
.
O

H
d
d
(C)
(?) là tiếp tuyến của (S)
Ví dụ 2
Cho S(O ; a ) và một điểm A biết OA = 2a. Qua A kẻ 1 tiếp tuyến tiếp xúc (S) tại B và 1 cát tuyến cắt (S) tại C và D biết CD =
Giải
Tính AB và d (O; CD)?
A.
.O
.
D.
B
* Tính AB :
AB tiếp xúc với (S) tại B
=> ?OAB vuông tại B
=> AB2 = OA2 - OB2 =
=> AB =
Gọi H là hình chiếu của O lên CD => OH = d(O ; CD)
Ta có: OC = OD = a
=> H là trung điểm CD
OH2 = OC2 - HC2 = a2 - 3a2/4
OH =
* Tính d(O; CD) :
H
=> ?OCD cân tại O
=> HC = HD =
C
4a2 - a2
III. Các tính chất của tiếp tuyến
Định Lý 1:
Qua điểm A nằm trên S(O;R) có vô số tiếp tuyến của (S).
Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A
P
.O
2. Định lý 2:
Qua một điểm A nằm ngoài S(O;R) có vô số tiếp tuyến của (S).
Độ dài của các đoạn thẳng kẻ từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau.
III. Các tính chất của tiếp tuyến
A .
.O
B
E
C
D
K
Ta có: AB,AC,AD,AE,.AK là tiếp tuyến của (S)
=>AB=AC=AD=AE=.=AK