Hình học HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG NÂNG CAO

BÀI TẬP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
PHẦN BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Cho
vuông tại A, đường cao AE. Gọi I là trung điểm AB. Vẽ IH vuông góc với BC taị H.
Chứng minh:

Chứng minh:


Bài 2: Cho hình vuông ABCD. I là một điểm thuộc BC. AI cắt CD tại M. kẻ DH và BK cùng vuông góc với AI
Chứng minh: AH = BK.
Chứng minh: DH.AI luôn không đổi khi I di động trên cạnh BC.

Bài 3: Cho
vuông tại A. Đường cao AH.Gọi M,N là hình chiếu vuông góc của H lần lượt lên AB, AC.
Chứng minh:

Chứng minh: AH3 = BM.CN.BC
Chứng minh:


Bài 4:Cho tam giác ABC, đường thẳng d// BC cắt AB tại M, cắt AC tại N. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MN và BC.
Chứng minh rằng: A, I, J thẳng hàng.
Gọi P, Q, H lần lượt là hình chiếu của M, N, A lên BC, O = MP ( NQ, R là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: J, O, R thẳng hàng.

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD, phân giác ngoài AE. Cho biết AB < AC. Chứng minh các hệ thức sau:
a/
b/


Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. Chứng minh các hệ thức sau:
a/
b/


Bài 7:Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC, một góc xOy = 600 có cạnh Ox, Oy luôn cắt AB, AC tại M và N.
a/ Chứng minh rằng OB2 = BM.CN
b/ Chứng minh rằng tia MO, NO luôn là phân giác của góc BMN và CMN
c/ Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi góc xOy quay quanh O nhưng hai cạnh Ox, Oy vẫn cắt hai cạnh AB và AC của tam giác ABC.

Bài 8: Cho tam giác đều ABC, trên các cạnh BC, AB, AC lấy ba điểm bất kỳ O, M, N sao cho O khác B, C và (MON = 600. Chứng minh rằng: 𝐵𝑀.𝐶𝑁
𝐵𝐶
2
4. Dấu bằng xảy ra khi nào?

Bài 9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là chân đường cao vẽ từ A của (ABC. Chứng minh rằng:
.

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng:


Bài 11: CMR trong tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD.

Bài 12: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH, gọi C1 là điểm đối xứng của H qua AB, B1 là điểm đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B1C1 với AC và AB là I và K. Chứng minh rằng đường BI, CK là đường cao của tam giác ABC.

Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của cạnh BC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh rằng hai tam giác BIC và AOH đồng dạng với nhau và AO vuông góc với BI.

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm các đường phân giác,M là trung điểm BC. Cho biết
𝐵𝐼𝑀
90
𝑜.Tính BC : AC : AB ?

Bài 15:Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h. Chứng minh rằng tam giác có các cạnh 𝑎−ℎ, 𝑏−𝑐, ℎ là một tam giác vuông.
Bài 16:Cho tam giác nhọn ABC, diện tích bằng 1. Vẽ ba đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
a)
𝑆
𝐴𝐸𝐹
𝑆
𝐵𝐹𝐷
𝑆
𝐶𝐷𝐸
𝑐𝑜𝑠
2
𝐴
𝑐𝑜𝑠
2
𝐵
𝑐𝑜𝑠
2
𝐶
b)
𝑆
𝐷𝐸𝐹
𝑠𝑖𝑛
2
𝐴
𝑐𝑜𝑠
2
𝐵
𝑐𝑜𝑠
2
𝐶.

Bài 17:Cho
ABC vuông tại A có
sin
𝐶
1
4𝑐𝑜𝑠𝐵. Tính các tỉ số lượng giác của góc B và C.

Bài 18:Cho tam giác ABC vuông tại A có
𝐶
15
𝑜, BC = 4cm.
a) Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Tính