Hình học cao cấp




CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG
MẶT PHẲNG


§1:CÁC PHÉP BIẾN HÌNH AFIN TRONG MẶT PHẲNG

Phép biến hình afin

Đại cương về phép biến hình trong mặt phẳng :

Cho mặt phẳng P,ta cũng kí hiệu Plà tập hợp các điểm của mặt phẳng P.
Mỗ tập hợp con của P được gọi là mô hình của mặt phẳng P

Định nghĩa:

Phép biến hình f của mặt phẳng P là một song ánh của P lên chính nó .kí hiệu là f:P→P
Với mỗi điểm M của P , điểm M’= f(M) gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f,còn điêm M gọi là tạo ảnh của M’ . Ta cũng nói: phép biến hình f biến điểm M thành điêm M’.
Cho H là một hình nào đó ,tập hợp H’= f(H) gồm ảnh của tất cả các điểm của Hgọi là ảnh của hình H .Ta cũng nói : Phép biền hình f biến hình H thành hình H’.
Ví dụ : ơ phổ thông chúng ta đã biết các phép biến hình của mặt phẳng như :phép tịnh tiến ,phép đối xứng tâm , phép vị tự ,phép đối xứng qua một đường thẳng .
Phép đồng nhất là một phép biến hình đặc biệt , nó biến mọi điểm M thành chính diểm M .Phép đồng nhất thường kí hiêu là e.Với mọi điểm M thuộc mặt phẳng P, e(M)= M.
Ta đã biết , tích hai song ánh là một song ánh ,nên tích hai phép biến hình của mặt phẳng P là một phép biến hình của mặt phẳng P ;Mổi phép biến hình f của P là song ánh của P ,có phép đảo ngược f-1 cũng là một song ánh của P , ta gọi f f-1 là phép biền hình đảo ngược của phép biến hình f và có fo f-1=f-1of = e.
Ta có : tập hợp tất cả các phép biến hình của mặt phẳng P với phép toán tích hai phép biến hình làm thành một nhóm .
1.2.Tỉ số đơn của ba điểm thẳng hang
Định nghĩa:
cho A,B,C là ba điểm phân biệt thẳng hàng trên mặt phẳng P .
Khi đó số k được gọi là tỉ số đơn của ba điểm A,B,C.Kí hiệu (ABC) theo đúng thứ tự sát định
(A,B,C) = -1
VÍ dụ :
1)A(1,2),B(2,4),C(1,3) .Vì A,B,C thẳng hàng nên (ABC) không xác định được
2)A(1,2),B(2,4),C(3,6). Ta có CA = 2 CB,vậy (ABC) = 2.
Chú ý (ABC)= - 1 ↔ Clà trung điểm của AB
Giả sử A,B,C thuộc vào đường thẳng (a) có vecto đơn vị e
= k


Gọi k là độ dài đại số của AB . Kí hiệu AB .(ABC) =k ↔CA = k CB.
1.5 Phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép afin
Ta kí hiệu
là tập hợp tấc cả các vectơ nằm trong mặt phẳng afin P, tức
là không gian vectơ hai chiều trên trường số thực liên kết với mặt phẳng afin P
Cho f: P
P là một phép afin . Ta xây dựng phép ánh xạ
:
như sau:
Với mỗi vectơ bất kì
, ta có thể chọn hai điểm M, N trên mặt phẳng P sau cho
=
. Gọi
=
,
=
và
=
. Theo tính chất d) nêu trên, vectơ
được xác định duy nhất bởi vectơ
, và không phụ thuộc vào chọn hai điểm M, N. Vậy , tương ứng
là một ánh xạ, kí hiệu là
=
và dễ thấy rằng
là một song ánh.
Sau đây ta chứng minh rằng :
là một ánh xạ tuyến tính của

( Trước hết ta chứng minh với mọi số thực k, ta có :
=
.
Dễ thấy điều đó đúng với k = 0, k = 1, hay
=

Xét trường hợp
,
,
:
Giả sử
=
và
=
. Khi đó, ba điểm A,B,C thẳng hàng , có ảnh qua phép afin f lần lược là A’, B’,C’ cũng thẳng hàng và tỉ số đơn được bảo toàn :
(C’,B’,C’) = (A,B ,C) = k, tức là:
= k

Do đó, ta có:

=
=
và
=
=

Vậy
=
.
( Bây giờ ta chứng minh với
và
thuộc
:

(
+
) =
+
.Ta lấy ba điểm A,B,C sao cho
=
,
=
,