Hình học 9 - Chương II - Bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

§4. VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng vµ ®­êng trßn
Đường thẳng và đường tròn có thể có mấy điểm chung?
Hai điểm chung
Một điểm chung
Không có điểm chung nào.
?1. Vì sao đường thẳng và đường tròn không thể có nhiều hơn hai điểm chung?
Trả lời:
Nếu đường thẳng và đường tròn có ba điểm chung trở lên thì đường tròn đi qua ba điểm thẳng hàng, vô lý.
Xét đường tròn (O;R) và đường thẳng a. Gọi H là chân đường vông góc kẻ từ O đến đường thẳng a. Khi đó OH là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a.
?2. Hãy chứng minh khẳng định trên?
+ Trong trường hợp đường đường thẳng a đi qua tâm O.
+ Trong trường hợp đường đường thẳng a không đi qua tâm O. Kẻ OH vuông góc với AB.
Khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a bằng 0 nên
OH = 0 < R.
Xét tam giác OHB vuông tại H,
ta có OH < OB nên OH < R.
Đường thẳng và đường tròn trên có mấy điểm chung?
Hãy chứng minh H trùng với C, OC vuông góc với a và OH = R
Thật vậy, giả sử H không trùng với C, lấy điểm C thuộc đường thẳng a sao cho H là trung điểm của CD. Khi đó C không trùng với D. Vì OH là đường trung trực của CD nên OC = OD. Ta lại có OC = R nên OD = R.
Như vậy, ngoài điểm C ta có điểm D cũng là điểm chung của đường thẳng a và đường tròn (O), điều này mâu thuẫn với giả thiết là đường thẳng a và đường tròn chỉ có một điểm chung.
Vậy H phải trùng với C, Điều này chứng tỏ OC vuông góc với a và OH = R.
Định lý:
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Đường thẳng và đường tròn trên có mấy điểm chung?

Đặt OH = d ta có các kết luận sau:
Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau thì d < R.
Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau thì d =R.
Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau thì d =R.

Đảo lại ta chứng minh được:
Nếu d < R thì đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau.
Nếu d = R thì đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau.
Nếu d > R thì đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau.



Ta có bảng tóm tắt sau

Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là 3cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 5cm.
Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với đường tròn (O)? Vì sao?
Gọi B và C là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn (O). Tính độ dài BC
?3