Hinh hoa

Trường đại học kỹ thuật công nghiệp
bộ môn: Hình hoạ vẽ kỹ thuật
------------- *** ------------
Bài giảng

Hình học - hoạ hình
Bài mở đầu

* Yêu cầu phản chuyển:
Trong kỹ thuật, bản vẽ phải thoả mãn yêu cầu là: từ bản vẽ ta phải xây dựng lại được vật thể trong không gian- Yêu cầu này gọi là yêu cầu phản chuyển. Bản vẽ thoả mãn yêu cầu phản chuyển gọi là đồ thức.
I. Mục đích, nội dung, yêu cầu.
1. Mục đích.
- Giúp sinh viên nắm vững các quy tắc, và phương pháp của Hình hoạ để học tốt môn Vẽ kỹ thuật, là môn học không thể thiếu của người làm công tác kỹ thuật.
- Rèn luyện khả năng tư duy trừu tượng, hình dung vật thể trong không gian. Khả năng này rất cần thiết cho người làm cán bộ kỹ thuật sau này trong việc cải tiến kỹ thuật, phát minh sáng chế .
2. Nội dung.
Hình học hoạ hình là một ngành của hình học, nó nghiên cứu 2 hai vấn đề sau:
- Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình không gian bằng hình vẽ trên mặt phẳng.
- Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán trong không gian bằng hình vẽ trên mặt phẳng.

Để chuyển các hình không gian thành các hình vẽ trên mặt phẳng người ta dùng các phép chiếu.
II. Các phép chiếu.
-Trong không gian lấy một mặt phẳng P làm mặt phẳng hình chiếu, lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng P làm tâm chiếu.
- Hình chiếu xuyên tâm của điểm A bất kỳ trong không gian lên mặt phẳng P là giao điểm A` của đường thẳng SA với mặt phẳng P .

1. Phép chiếu xuyên tâm.
a. Định nghĩa
+ P : Là mặt phẳng hình chiếu. Ký hiệu bằng chữ hoa.
+ S : Là tâm chiếu. Ký hiệu bằng chữ in hoa.
+ SA: Là tia chiếu.


b. Tính chất.
-Tính chất 1: Hình chiếu xuyên tâm của đường thẳng không đi qua tâm chiếu là đường thẳng. CM: giả thiết cho AB không đi qua tâm chiếu, thì các đường thẳng chiếu qua S và tựa trên AB tạo thành mf gọi là mf chiếu. Mf này cắt mf P theo đt A`B`
* Các hệ quả:
+ Một điểm M thuộc AB thì hình chiếu xuyên tâm M` của nó cũng thuộc A`B` .
? Vậy phép chiếu xuyên tâm bảo tồn tính liên thuộc của điểm và đường thẳng.
+ Ngược lại, nếu M` thuộc A`B` thì chưa chắc M đã thuộc AB.
+A`B` còn gọi là hình chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu (S,AB)
+ Đường thẳng đi qua tâm chiếu thì hình chiếu xuyên tâm của nó suy biến thành một điểm.
+ Nếu mặt phẳng chiếu của một đường thẳng nào đó song song với mặt phẳng hình chiếu thì hình chiếu xuyên tâm của nó ở xa vô tận.
Mở rộng: Nếu một hình phẳng bất kỳ thuộc mf chiếu thì hình chiếu xuyên tâm của nó phải thuộc đường thẳng A`B`.

* Hệ quả:
+ Nếu các đường thẳng song song đã cho song song với mặt phẳng hình chiếu thì hình chiếu của các đường thẳng đó sẽ song song nhau.

- Tính chất 2: Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song song nói chung là
các đường thẳng đồng quy.
S
K`
B
A
C
D
A`
F
E
C`
D`
E`
F`
B`
P
k
2. Phép chiếu song song
Trong không gian lấy mặt phẳng P làm mặt phẳng hình chiếu và đường thẳng s không song song với P làm hướng chiếu.
Hình chiếu song song của điểm A là giao điểm A` của đường thẳng qua A , song song với s, và mặt phẳng P .
P : là mặt phẳng hình chiếu.
s: là hướng chiếu.
AA`: là tia chiếu
A`: là hình chiếu song song của điểm A.

Phép chiếu song song là trường hợp đặc biệt của phép chiếu xuyên tâm khi tâm chiếu ở xa vô tận, do đó nó có các tính chất của phép chiếu xuyên tâm.
Phép chiếu song song còn có 2 tính chất sau:
b. Các tính chất.
a. Định nghĩa:
- Tính chất 1:Hình chiếu song song của các đường thẳng song song là các đường thẳng song song.
Nhận xét:
- Ta thấy hình chiếu song song của đường thẳng AB là A`B`. Ngược lại A`B` là hình chiếu của mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa đường thẳng AB và song song với s.

- Tính chất 2: Tỉ số hai hình chiếu song song của hai đoạn thẳng song song bằng tỷ số của hai đoạn thẳng đó.
s
Phép chiếu thẳng góc là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song khi hướng chiếu vuông góc với mặt phẳng hinh chiếu.
3. Phép chiếu thẳng góc.
a. Định nghĩa:
Một số trường hợp đặc biệt:
-Khi EF // s, thì E` � F`
- Khi AB // P, thì A`B` // AB
Phép chiếu thẳng góc là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có tất cả các tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra nó còn có tính chất sau:
- Độ dài hình chiếu thẳng góc của một đoạn thẳng bằng độ dài của đoạn thẳng đó nhân với cos? (? là góc hợp bởi đoạn thẳng đó và mặt phẳng hình chiếu).
A`B` = AB.cos? (? = AB x P )
- Phương pháp các hình chiếu thẳng góc.
- Phương pháp hình chiếu trục đo.
- Phương pháp hình chiếu phối cảnh.
- Phương pháp hình chiếu có số.
2. Tính chất:
Để xây dựng bản vẽ thoả mãn điều kiện phản chuyển, trong kỹ thuật thường dùng các phương pháp sau:
Kết luận Các phép chiếu trên đây cho ta vẽ được hình chiếu của các đối tượng trong không gian lên mặt phẳng. Nhưng ngược lại,chúng chưa thiết lập quan hệ một đối một giữa các yếu tố trong không gian với các yếu tố trên mặt phẳng.
Phương pháp các hình chiếu thẳng góc
Chương 1: Điểm
1.1 Đồ thức của một điểm
a. Cách xây dựng đồ thức.
1.1.1 Dùng 2 mặt phẳng hình chiếu.
- Trong không gian lấy 2 mặt phẳng P1 ? P2, làm hai mf hình chiếu.
- Chiếu điểm A lên 2 mặt phẳng P1 và P2 được 2 hình chiếu là A1 và A2.

- Xoay mặt phẳng P2 xung quanh giao tuyến x của 2 mặt phẳng theo chiều mũi tên như hình vẽ để mặt phẳng P2 trùng với mặt phẳng P1.

Kết quả trên mặt phẳng P2 ? P1 ta được hai hình chiếu thẳng góc của điểm A. Hình thu được bằng cách làm như vậy gọi là đồ thức của điểm A.

- P1 thường lấy thẳng đứng -gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng.
- P2 thường lấy nằm ngang- gọi là mặt phẳng hình chiếu bằng.
- A1 gọi là hình chiếu đứng của điểm A.
- A2 gọi là hình chiếu bằng của điểm A.
b. Các định nghĩa:
- Hai mặt phẳng P1 và P2 chia không gian làm 4 phần gọi là 4 góc tư.
+ Góc tư I là phần không gian nằm phía trước mặt phẳng P1 và phía trên mặt phẳng P2 (Điểm thuộc góc I có độ xa > 0, độ cao > 0).
- Giao tuyến x = P1 x P2 gọi là trục hình chiếu.- Khoảng cách từ A đến P1 gọi là độ xa của điểm A, với quy ước:
Nếu A nằm phía trước mặt phẳng P1 thì độ xa > 0.
Nếu A nằm phía sau mặt phẳng P1 thì độ xa < 0.
Nếu A nằm thuộc mặt phẳng P1 thì độ xa = 0.
Khoảng cách từ A đến P2 gọi là độ cao của điểm A.
Nếu A nằm phía trên mặt phẳng P2 thì độ cao > 0.
Nếu A nằm phía dưới mặt phẳng P2 thì độ cao < 0.
Nếu A thuộc mặt phẳng P2 thì độ cao = 0.
+ Góc tư II là phần không gian nằm phía sau mặt phẳng P1 và phía trên mặt phẳng P2 ( điểm thuộc góc II có độ xa < 0, độ cao > 0).
+ Góc tư III là phần không gian nằm phía sau mặt phẳng P1 và phía dưới mặt phẳng P2 (điểm thuộc góc III có độ xa < 0, độ cao < 0).
+ Góc tư IV là phần không gian nằm phía trước mặt phẳng P1 và phía dưới mặt phẳng P2( điểm thuộc góc IV có độ xa > 0, độ cao < 0).
- Mặt phẳng chia đôi góc tư I và III gọi là mặt phẳng phân giác I.
- Mặt phẳng chia đôi góc tư II và IV gọi là mặt phẳng phân giác II.
III
I
II
IV
- Độ dài A2 Ax bằng trị tuyệt đối độ xa của điểm A.
Nếu A2 nằm phía dưới trục x thì độ xa > 0
Nếu A2 thuộc trục x thì độ xa = 0
Nếu A2 nằm phía trên trục x thì độ xa < 0
-Nếu A thuộc mf phân giác I -thì A1 đối xứng với A2 qua trục x
-Nếu A thuộc mf phân giác II- thì A1 trùng A2
c. Các tính chất .
- Gọi Ax là giao điểm của trục x với mặt phẳng xác định bởi 3 điểm A, A1, A2, . Thì trên đồ thức 3 điểm A1, Ax, A2 thẳng hàng và đường thẳng nối ba điểm đó vuông góc với trục x- Gọi là đường dóng thẳng đứng (A1 Ax A2 ? x)
- Độ dài A1 Ax bằng trị tuyệt đối độ cao của điểm A.
Nếu A1 nằm phía trên trục x thì độ cao > 0
Nếu A1 thuộc trục x thì độ cao = 0
Nếu A1 nằm phía dưới trục x thì độ cao < 0
Ax
- Điểm A ? góc tư thứ I
- Điểm B ? góc tư thứ II
- Điểm C ? góc tư thứ III
- Điểm D ? góc tư thứ IV
- Điểm E ? Mp phân giác I
- Điểm F ? Mp phân giác II
- Điểm G ? P1 - Điểm H ? P2
Nhận xét: Nếu biết đồ thức của 1 điểm, sẽ xây dựng lại được điểm đó trong không gian bằng cách làm ngược lại quá trình xây dựng đồ thức của điểm
Các ví dụ đồ thức của điểm
a. Cách xây dựng đồ thức:
- Trong không gian lấy 3 mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau P1, P2, P3 .
1.1.2. Dùng 3 mặt phẳng hình chiếu.
- Chiếu thẳng góc điểm A lần lượt lên 3 mặt phẳng P1 ,, P2, ,P3 được
A1, A2, A3.
- Xoay mặt phẳng P2 quanh trục x theo chiều mũi tên để mặt phẳng P2 ? P1
- Xoay mặt phẳng P3 quanh trục z theo chiều mũi tên để mặt phẳng P3 ? P1

- Kết quả trên mặt phẳng P3 ? P2 ? P1 ta được ba hình chiếu thẳng góc của điểm A ,đó là đồ thức của điểm A trên ba mặt phẳng hình chiếu.
(Với A1A2 ? x, A1 A3 ? z)
* Chú ý: Trên đồ thức trục y có vị trí trùng với trục z do phép xoay P2 trùng P1, và trùng với trục x do phép xoay P3 về trùng P1- nhưng ngược chiều với hai trục đó.

b. Các định nghĩa:
Các yếu tố thuộc mặt phẳng P1, P2 được định nghĩa như dùng 2 mặt phẳng hình chiếu. Các yếu tố còn lại định nghĩa như sau:
- P3 : Là mặt phẳng hình chiếu cạnh
A3 : Là hình chiếu cạnh của điểm A.
- Khoảng cách từ A -đến P3 gọi là độ xa cạnh của điểm A

c. Các tính chất :
Ngoài các tính chất như đã nêu trong trường hợp dùng hai mặt phẳng hình chiếu, còn có các tính chất sau:
Gọi Az là giao điểm của trục z với mặt phẳng A A1A3

- Thì trên đồ thức, ba điểm A1, Az, A3 thẳng hàng và đường thẳng nối ba điểm đó vuông góc với trục Z- gọi là đường dóng nằm ngang ( A1 Az A3 ? z).
- A3Az = A2Ax = AA1 ( độ xa của điểm A).
- Giữa điểm A3 và A2 liên hệ với nhau như sau:
-Nếu A2 nằm phía dưới trục x
thì A3 nằm bên phải trục z .
-Nếu A2 nằm phía trên trục x
thì A3 nằm bên trái trục z.
-Nếu A2 thuộc trục x
thì A3 thuộc trục z.
Chú ý: Do sự liên quan giữa ba hình chiếu thẳng góc của một điểm, ta dễ dàng vẽ được hình chiếu thứ ba khi biết hai hình chiếu của nó.
Z
X
Y
Ví dụ: cho hai hình chiếu B1 và B2 của điểm B, hãy vẽ hình chiếu cạnh B3.
Giải: Do B2 phía trên trục x, vậy B3 nằm bên trái trục z. Trên đường nằm ngang qua B1,phía bên trái trục z,ta đặt đoạn BzB3 = Bx B2,

z
B3 còn có thể tìm được bằng các cách như mô tả trên hình a và hình b ở dưới đây
1.2.1 Toạ độ đề các của một điểm.
1.2 Cách chuyển từ toạ độ đề
các thẳng góc sang đồ thức
1.2.2. Cách chuyển từ toạ độ đề các sang đồ thức.
Trong cách xây dựng đồ thức của một điểm khi dùng ba mặt phẳng hình chiếu, nếu lấy các mặt phẳng hình chiếu làm các mặt phẳng toạ độ, các trục hình chiếu làm các trục toạ độ, thì hai phương pháp biểu diễn có sự tương quan như sau:



Vị trí của điểm A trong hệ toạ độ Oxyz hoàn toàn được xác định theo toạ độ:
A (XA, YA, ZA)
Trong đó, các giá trị đại số
XA = OAx là hoành độ của điểm A
YA = OAy là tung độ của điểm A
ZA = OAz là cao độ của điểm A

+ XA= OAx = độ xa cạnh của điểm A.
+ YA = OAy =Ax A2 = độ xa của điểm A.
+ ZA = OAz = AxA1 = độ cao của điểm A.

Từ sự tương quan trên, ta dễ dàng vẽ được đồ thức của một điểm khi biết các toạ độ đề các của nó.
Ví dụ:
Vẽ đồ thức của điểm M có toạ độ (1, -2, 3)
Giải:
Từ XM = 1, ta vẽ được Mx với OMx = 1
YM = -2 ,ta vẽ được M2 với Mx M2 = 2( lấy về phía âm của trục y)
ZM= 3 , ta vẽ được M1 với Mx M1 = 3
- Từ M1, M2 , ta tìm được M3
Chương 2: Đường thẳng
2.1 đồ thức của đường thẳng
Trong không gian đường thẳng được xác định bởi hai điểm và hình chiếu của một đường thẳng là một đường thẳng. Vì vậy đồ thức của đường thẳng được xác định khi biết đồ thức của hai điểm thuộc đường thẳng ấy.
2.1.1. đồ thức của đường thẳng.
2.1.2. Định nghĩa.
Đồ thức của một đường thẳng l(A,B) là một cặp đường thẳng l1(A1,B1) và l2(A2,B2) trên mặt phẳng đồ thức P1 ? P2.
* Nhận xét:
Từ hai hình chiếu l1, l2 của đường thẳng ta có thể dựng lại đường thẳng l bằng cách: Từ hình chiếu đứng l1 dựng mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1, từ hình chiếu bằng l2 dựng mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P2, hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến, đó chính là đường thẳng l trong không gian.
Ta gọi đường thẳng bất kỳ là đường thẳng có hướng không song song hoặc vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. Trên đồ thức, các hình chiếu của đường thẳng bất kỳ cũng có hướng bất kỳ.
2.2 các đường thẳng đặc biệt
Đường thẳng đặc biệt là đường thẳng có hướng song song , hoặc vuông góc với mặt phẳng hình chiếu.
đường đồng mức là đường thẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu
Gồm có: Đường bằng, đường mặt, đường cạnh.
2.2.1. Các đường đồng mức.
* Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P2.
a. Đường bằng.
* Tính chất:
- Hình chiếu đứng b1 song song với trục x.
- Hình chiếu bằng của bất kì đoạn thẳng nào thuộc đường bằng cũng có độ dài bằng chính nó: A2B2 = AB.
- Góc của hình chiếu bằng của đường bằng với trục x chính là góc giữa đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 .
?(b2 ? x) = ? (b ? P1 )
* Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1.
b. Đường mặt.
* Tính chất:
- Hình chiếu bằng m2 song song với trục x.
- Hình chiếu đứng của bất kì đoạn thẳng nào thuộc đường mặt cũng có độ dài bằng chính nó: A1B1 = AB.
- Góc của hình chiếu đứng của đường mặt với trục x chính là góc giữa đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 .
?(m1 ? x) = ? (m ? P2)
* Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3.
c. Đường cạnh.
* Tính chất:
- Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng( A1B1, A2B2 ) cùng nằm trên đường dóng thẳng đứng và vuông góc với trục x.
- Hình chiếu cạnh của đoạn thẳng bất kì thuộc đường cạnh A3B3 cũng có độ dài bằng chính nó.
- Góc giữa hình chiếu cạnh của đường cạnh với trục z là góc giữa đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu đứng P1. ?(A3B3 x z) = ?(AB x P1)
- Góc giữa hình chiếu cạnh của đường cạnh với trục y là góc giữa đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu bằng P2. ?(A3B3 x y) = ?(AB x P2)
2.2.2 Các đường thẳng chiếu.
đường thẳng chiếu là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu.
Gồm có: Đường thẳng chiếu bằng, đường thẳng chiếu đứng, đường thẳng chiếu cạnh.
a. Đường thẳng chiếu bằng.
* Định nghĩa:
Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P2.
- Hình chiếu bằng suy biến thành một điểm: A2 ? B2
Hình chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với trục x:
A1B1 ? x
- Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của bất kì đoạn thẳng nào thuộc đường thẳng chiếu bằng cũng có độ dài bằng độ dài thật.
A1B1 = AB = A3B3 .
* Tính chất:
b. Đường thẳng chiếu đứng.
* Định nghĩa:
Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1.
- Hình chiếu đứng suy biến thành một điểm: A1 ? B1
Hình chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với trục x:
A2B2 ? x.
- Hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của bất kì đoạn thẳng nào thuộc đt chiếu đứng cũng có độ dài bằng độ dài thật:
A2B2 = AB = A3B3 .
*Tính chất:
c. Đường thẳng chiếu cạnh.
* Định nghĩa:
Đường thẳng chiếu cạnh là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3.
- Hình chiếu cạnh suy biến thành một điểm:
A3 ? B3.
- Các hình chiếu đứng và hình chiếu bằng cùng song song với trục x:
A1B1 // x // A2B2.

Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của bất kì đoạn thẳng nào thuộc đường thẳng chiếu cạnh cũng bằng độ dài thật:
A1B1 = AB = A2B2.

*Tính chất:
* Chú ý:
-đường thẳng không phải là đường cạnh hoàn toàn được xác định khi biết hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của nó.
-Trường hợp đường cạnh, khi biết hình đứng và hình bằng , đường thẳng đó chưa được xác định: Bởi mặt phẳng đi qua hai hình chiếu đó và tương ứng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng và mặt phẳng hình chiếu bằng sẽ trùng nhau. Do đó, muốn xác định đường cạnh trên hai hình chiếu thì phải cho đồ thức của hai điểm của đường cạnh. Hoặc cho hình chiếu cạnh với hình chiếu đứng hoặc hình chiếu bằng của nó.
2.3 điểm thuộc đường thẳng
2.3.1. Trường hợp đường thẳng không phải là đường cạnh.
* Định lý: Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng là: hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng, hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng.
CM:- Điều kiện cần: giả thiết trong không gian cho A thuộc m, do tính chất của phép chiếu bảo tồn sự liên thuộc giữa điểm và đt ta có:
A1 thuộc m1, A2 thuộc m2.
- điều kiện đủ: giả thiết trên đồ thức A1 thuộc m1, A2 thuộc m2, ta phải cm A thuộc m.
Thật vậy, khi xây dựng đt m trong không gian, m là giao của hai mf: một mf qua m1 và v.góc với P1, một mf qua m2 và vuông góc với P2.
các đt chiếu đứng qua A1 và đt chiếu bằng qua A2 lần lượt nằm trên 2 mf đó, đồng thời cùng nằm trên một mf qua A1,A2 và vuông góc với trục x. mặt phẳng này cắt m tại A cần tìm.
P2
Để xét điều kiện một điểm thuộc một đường thẳng, ta phân ra các trường hợp sau:
Ví dụ : Vẽ đường bằng d qua điểm A(A1,A2) và hợp với P1 một góc bằng 300.
Giải:
- Qua A1 kẻ đường thẳng d1 song song với trục x - là hình chiếu đứng của d.
- Vì góc giữa đường thẳng d với P1 bằng góc giữa d2 với trục x , vậy qua A2 kẻ d2 hợp với trục x một góc 300 (Ta có thể kẻ được hai đường).
d1
d2
2.3.2 Trường hợp đường thẳng là đường cạnh.
- Từ hai hình chiếu với : C1 ?A1B1, và C2 ? A2B2 chưa đủ để kết luận C ? AB. Vì mọi điểm thuộc mặt phẳng chứa đường thẳng AB và song song với P3 đều có hình chiếu đứng và bằng nằm trên A1B1 và A2B2 .
* Nhận xét:
-Vậy để xem một điểm có thuộc đường cạnh không thì hoặc dựa vào hc cạnh: điều kiện là hc đứng của điểm thuộc hc đứng của đường cạnh và hình chiếu cạnh của điểm thuộc hình chiếu cạnh của đường cạnh .
C1 ? A1B1 ; C3 ? A3B3
P3
-Hoặc ( Nếu chỉ biết hc đứng và hc bằng), ta dựa vào tính chất không đổi của tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng trong phép chiếu song song.
Xét điểm C ? AB, theo tính chất của phép chiếu song song ta có tỉ số:

Kí hiệu: (A1C1B1) = (A2C2B2)
Ví dụ: Vẽ đường bằng qua điểm A(A1,A2) và cắt đường cạnh BC(B1C1,B2C2).
Giải: Gọi đường thẳng cần dựng là d:
- Vẽ hình chiếu đứng d1 : Qua A1 kẻ d1 // x, d1 cắt B1C1 tại điểm I1 (là hình chiếu đứng của giao điểm giữa d và BC).
- Tìm I2 trên B2C2 bằng phương pháp tỷ số đơn:
(B1I1C1) = (B2I2C2).
- Nối A2I2 ta được d2 .
2.4 vết của đường thẳng
2.4.1. Định nghĩa.
- Vết của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu .
- Vết đứng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng P1. Thường kí hiệu là N.
- Vết bằng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng P2. Thường kí hiệu là M.
- Vết cạnh là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3. Thường kí hiệu là P.
2.4.2 Cách xác định vết.
- Nhận xét:
+ Tương tự, M thuộc P2 ,
Vậy M2 ? M, M1? x.
+ Vì điểm vết đứng N thuộc P1. ( N? P1)
vậy: N1 ? N , N2 ? x.
Ta có cách xác định các vết của đường thẳng:
+ Kéo dài hình chiếu bằng l2 cắt trục x tại N2? Nx .Từ N2 kẻ đường dóng thẳng đứng cắt l1 tại N1 ? N.
+ .Tương tự, kéo dài l1 cắt trục x tại
M1? Mx. Từ điểm này kẻ đường dóng thẳng đứng cắt l2 tại M2 ? M.

? N
? M
?Nx
?Mx
+ Kéo dài hình chiếu bằng l2 của đường thẳng cắt trục y ? z tại một điểm ta được hình chiếu bằng P2 của vết cạnh.
+ Dùng cách xác định hình chiếu cạnh tìm được P2 trên trục y ? x. Từ P2 kẻ đường dóng song song với trục z, cắt hình chiếu cạnh l3 của đường thẳng tại điểm P3 chính là hình chiếu cạnh hay vết cạnh của đường thẳng l.
- Cách xác định vết cạnh:
Ví dụ:
Tìm các vết của đường thẳng l và xem đường thẳng l đi qua những góc phần tư nào ?
III
IV
I
2.5 tìm độ dài thật của đoạn thẳng
và góc của nó với các mặt phẳng hình chiếu
-Giả thiết cho các hc A1B1và A2B2 của đoạn thẳng AB, hãy tìm độ dài thật của đt đó và góc nghiêng của nó với các mf hc P1 và P2.
*Trong hình không gian bên,qua điểm A kẻ AB0 // A2B2, thì AB0 ? BB2. Xét tam giác vuông ABB0 ta thấy:
- cạnh góc vuông AB0 có độ dài bằng độ dài hình chiếu bằng A2B2
AB0 = A2B2
Hình a
-cạnh góc vuông BB0 có độ dài bằng trị tuyệt đối hiệu độ cao của hai điểm A,B:
BB0 = ? ZA - ZB ? = ? AxA1 -BxB1 ?
- cạnh huyền AB là độ dài thật của đoạn thẳng AB.-Kí hiệu là ĐDT-AB.
- Góc nhọn đối diện với cạnh BB0 chính là góc nghiêng giữa đoạn thẳng AB với mặt phẳng hình chiếu bằng. ? = ?(AB x P2)
* Từ nhận xét trên ta suy ra cách tìm độ dài thật của đoạn thẳng và góc nghiêng của nó với các mfhc như sau:
- Lấy hình chiếu bằng làm một cạnh góc vuông, vẽ tam giác vuông có độ dài cạnh góc vuông còn lại là hiệu độ cao của hai đầu đoạn thẳng, thì cạnh huyền bằng độ dài thật của đoạn thẳng AB và góc kề hc bằng là góc nghiêng của AB với P2
- Tương tự, vẽ tam giác vuông có một cạnh là hình chiếu đứng, cạnh còn lại là hiệu độ xa của 2 đầu đoạn thẳng AB, thì cạnh huyền của tam giác là ĐDT của AB, góc đối diện với cạnh hiệu độ xa là góc nghiêng giữa AB với mặt phẳng P1.
Phương pháp trên gọi là phương pháp tam giác vuông.
ĐDT-AB
2
B"
2
1
ĐDT-AB
* Chú ý:
- Nếu chỉ cần xác định độ lớn thật của một đoạn thẳng thì tam giác vuông dựng ở hình chiếu nào cũng được.
- Nếu muốn xác định góc của đoạn thẳng với mặt phẳng hình chiếu nào thì phải dựng tam giác trên hình chiếu đó.
- Với đường cạnh, góc của nó với P1 và P2 là 2 góc phụ nhau. Nếu không phải là đường cạnh thì 2 góc với P1 và P2 là 2 góc độc lập nhau.
Cm: Điều kiện cần:
-Giả thiết: cho a x b = I
-Kết luận: a1 x b1 = I1
a2 x b2 = I2
I1I2 ? x

2.6 vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong không gian hai đường thẳng có thể cắt nhau, song song và chéo nhau.Ta đi xét các trường hợp này trên đồ thức.
2.6.1. Hai đường thẳng cắt nhau.
a. Trường hợp hai đường thẳng không phải là đường cạnh.
* Định lý: Điều cần và đủ để 2 đường thẳng cắt nhau là các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình chiếu bằng của chúng cắt nhau và hai giao điểm phải cùng nằm trên một đường dóng .
b. Trường hợp có đường thẳng là đường cạnh.
Giả thiết cho đường thẳng m và đường cạnh AB, mặc dù các hình chiếu bằng và đứng của chúng cắt nhau, và các giao điểm ấy nằm trên cùng một đường gióng, nhưng trong không gian chưa chắc m cắt AB.
Giả sử m1 x A1B1 = I1
m2 x A2B2 = I2
Từ giả thiết: a x b = I, do tính liên thuộc được bảo tồn trong phép chiếu, ta có:
a1 x b1 = I1, a2 x b2 = I2, Và vì I1 và I2 là 2 hình chiếu của một điểm, nên I1I2 ? x.
-Điều kiện đủ: Giả thiết a1 x b1 = I1, a2 x b2 = I2, I1I2 ? x.
Kết luận : a x b = I
CM: Vì I1I2 ? x, vậy chúng biểu diễn một điểm trong không gian- là I.
Vì I1 thuộc a1, I2 thuộc a2, nên I thuộc a
I1 thuộc b1, I2 thuộc b2, nên I thuộc b.
Do đó a x b = I

Ta thấy điểm I đã thuộc m. Bài toán trở về xét xem I có thuộc đường cạnh AB hay không, có 2 phương pháp:
+Dựa vào hình chiếu cạnh.
+ Dựa vào tỷ số đơn của 3 điểm (A1I1B1) và (A2I2B2).
Nếu I thuộc AB thì đường thẳng m cắt đường cạnh AB. Nếu I không thuộc AB, thì m và AB chéo nhau.
2.6.2 Hai đường thẳng song song.
Ta cũng phân ra hai trường hợp:
Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng song song với nhau là các hình chiếu cùng tên của chúng song song với nhau.
Nếu: a // b thì a1 // b1 ; a2 // b2 và ngược lại
a. Trường hợp cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh.
Chứng minh:
+Điều kiện cần: Giả thiết cho a// b, thì theo tính chất của phép chiếu song song ta có
a1 // b1 và a2 // b2
+ Điều kiện đủ: giả thiết cho a1 // b1, a2 // b2, ta phải chứng minh a // b
Lấy điểm M thuộc b- thì M1 thuộc b1, M2 thuộc b2- Qua M vạch đường thẳng b` song song với a , thì ta có b`1 qua M1 và b`1 // a1
b`2 qua M2 và b`2 // a2
Mặt khác, ta biết rằng qua M1( hoặc M2) chỉ kẻ được một đường thẳng song song với a1 (hoặc a2). Vậy b`1 ? b1 và b`2 ? b2, nghĩa là b` ? b và a // b.
b. Trường hợp cả hai đường là đường cạnh.
* Điều kiện:
- Để 2 đường cạnh song song ngoài điều kiện trên thì hình chiếu cạnh của 2 đường thẳng đó phải song song với nhau.
Tức nếu: AB // CD ? A1B1 // C1D1
A2B2 // C2D2
A3B3 // C3D3
- Nếu không dùng hình chiếu cạnh,ta nhận xét:
giả sử cho AB //CD, thì theo tính chất của phép chiếu song song ta có:

- Nếu hai đường cạnh AB // CD thì tồn tại một mặt phẳng ?(AB // CD).Nếu ta vẽ thêm các đường phụ AD và BC, thì chúng hoặc song song , hoặc cắt chau
Trên đồ thức: Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của hai đường thẳng AD, BC cắt nhau tại các giao điểm nằm trên một đường dóng thẳng đứng.
Tức là: I1I2 ? x
Thì AB // CD
2.6.3 Hai đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cắt nhau và không song song với nhau.
Hoặc:
* Vậy:
Hai đường thẳng chéo nhau thì đồ thức của chúng không thoả mãn điều kiện của hai đường thẳng cắt nhau và song song.
Ví dụ đồ thức của hai đường thẳng a và b chéo nhau:
2.7 hai đường thẳng vuông góc
Điều kiện để một góc vuông chiếu thẳng góc vẫn là một góc vuông là ít nhất một cạnh của nó song song với mặt phẳng hình chiếu, còn cạnh kia không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu.
2.7.1. Định lý:
-Theo giả thiết AC ? AB, mà AC // P,
vậy AC //A`C`, nên A`C` ? AB.
- A`C` ? A A`, vì là phép chiếu thẳng góc.
- Vậy A`C` ? mặt phẳng( ABB`A`), nên A`C`? A`B`
Hình chiếu của một góc vuông nói chung không là một góc vuông.Trong hình học không gian ta có định lý sau:
Định lý này cũng đúng cho hai đường thẳng vuông góc và chéo nhau.
2.7.2Trên đồ thức:
- Hai đường thẳng vuông góc cắt nhau hoặc chéo nhau chiếu xuống mặt phẳng hình chiếu bằng mà các hình chiếu vẫn vuông góc với nhau khi có ít nhất 1 đường là đường bằng còn đường kia không phải là đường thẳng chiếu bằng.
- Hai đường thẳng vuông góc cắt nhau hoặc chéo nhau chiếu lên mặt phẳng hình chiếu đứng vẫn vuông góc khi có ít nhất 1 đường là đường mặt còn đường kia không phải là đường thẳng chiếu đứng.
a cắt b
a chéo b
Ví dụ 1: Vẽ nốt hình chữ nhật ABCD, biết hình chiếu của cạnh AB, hình chiếu đứng của điểm D là D1 ? d1.
Ví dụ 2: Vẽ hình vuông ABCD, biết các hình chiếu của cạnh AB , còn đỉnh D ? d.
Chương 3: Mặt phẳng
3.1 Đồ thức của mặt phẳng
Trong không gian, một mặt phẳng được xác định bởi một trong các cách sau:
- Ba điểm không thẳng hàng.
- Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó.
- Hai đường thẳng cắt nhau.
- Hai đường thẳng song song.

Do đó đồ thức của mặt phẳng cũng được xác định bằng:
- Đồ thức của ba điểm không thẳng hàng.
- Đồ thức của một điểm và một đường thẳng không đi qua nó.
- Đồ thức của hai đường thẳng cắt nhau.
- Đồ thức của hai đường thẳng song song.
Mặt phẳng (ABC)
Mặt phẳng (l,A)
Mặt phẳng (axb)
Mặt phẳng (m//n)
Ví dụ:
Trường hợp mặt phẳng xác định bằng điểm A và đường thẳng l có thể chuyển sang trường hợp mặt phẳng xác định bằng hai đường thẳng song song bằng cách.
Qua A kẻ đường thẳng h // l ? mặt phẳng xác định bằng hai đường thẳng song song (h // l).
Chú ý:
Có thể chuyển từ cách xác định này sang cách xác định khác một cách dễ dàng.
3.2 các Vết của mặt phẳng
- Vết của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng hình chiếu.
- Vết đứng của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng, ( nếu mặt phẳng là ?,vết đứng kí hiệu là n?).
- Vết bằng của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng,( nếu mặt phẳng là ?, vết bằng ký kí hiệu là m?).
3.2.1. Định nghĩa:
- Vết cạnh của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu cạnh ( nếu mặt phẳng là ?, vết cạnh kí hiệu là p?).
-Vêt đứng:
Hình chiếu đứng của vết đứng là n(?)1 ? n(?)
Hình chiếu bằng của vết đứng là n(?)2 ? x
3.2.2. Các hình chiếu của vết.
- Vết cạnh:
Hình chiếu cạnh của vết cạnh là p(?)3 ? p(?)
Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng là
p(?)1 ? z ,p(?)2 ? y
- Để đơn giản trên đồ thức người ta quy ước: chỉ ghi ký hiệu tên các vết của mặt phẳng.
-Vết bằng:
Hình chiếu bằng của vết bằng là m(?)2 ? m(?)
Hình chiếu đứng của vết bằng là m(?)1 ? x
Nhận xét:
1- Trong không gian cũng như trên đồ thức vết đứng và vết bằng của mặt phẳng phải cắt nhau trên trục x( hoặc song song vơí trục x). Vết đứng và vết cạnh phải cắt nhau trên trục z( hoặc cùng song song với trục z). Còn vết bằng và vết cạnh trong không gian cắt nhau trên trục y( hoặc cùng song song với trục y), trên đồ thức chân của hai vết này trên trục y, có cùng khoảng cách tới giao của các trục hình chiếu.
2- Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định bởi 2 vết. Vì vậy có thể cho mặt phẳng bằng hai vết của nó. Đây chính là cách cho mặt phẳng bằng hai đường thẳng cắt nhau hoặc song song.
?x
3-Nếu một đường thẳng thuộc một mặt phẳng thì vết của đường thẳng phải thuộc vết tương ứng của mặt phẳng.
Ví dụ: Xác định vết của mặt phẳng ?(a ? b)
3.3 các mặt phẳng đặc biệt

-mặt phẳng đặc biệt là mặt phẳng vuông góc, hoặc song song với mặt phẳng hình chiếu.
3.3.1.Các mặt phẳng chiếu.

Các mặt phẳng chiếu là các mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng hình chiếu
Bao gồm có:
Mặt phẳng chiếu bằng, mặt phẳng chiếu đứng , mặt phẳng chiếu cạnh.
Góc giữa hình chiếu bằng của măt phẳng chiếu bằng với trục x chính là góc giữa mặt phẳng đó với mặt phẳng hình chiếu đứng.
? = (?) x P1
* Tính chất:
- Hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng trùng với vết bằng của nó . Đây là tính chất đặc trưng cho mf chiếu bằng, vì biết hc bằng thì mf này cũng hoàn toàn được xác định.
a. Mặt phẳng chiếu bằng.
* Định nghĩa: Măt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 .
- vết đứng của mặt phẳng chiếu bằng vuông góc với trục x ( n? ? x).
b. Mặt phẳng chiếu đứng.
* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 .
* Tính chất:
- Hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng suy biến thành đường thẳng trùng với vết đứng của nó .
- vết bằng của mặt phẳng chiếu đứng vuông góc với trục x ( m? ? x).
c. Mặt phẳng chiếu cạnh.
* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3 .
*Tính chất :
- Hình chiếu cạnh của mặt phẳng chiếu cạnh suy biến thành đường thẳng trùng với vết cạnh của nó .
- Mặt phẳng chiếu cạnh có vết đứng n? và vết bằng m? song song với trục x:
n???m???x
3.3.2. Các mặt phẳng đồng mức.
Mặt phẳng đồng mức là mặt phẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu.
Gồm có :Mặt phẳng bằng, mặt phẳng mặt, mặt phẳng cạnh.
a. Mặt phẳng bằng.
* Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P2.
Nhận xét: Vì mặt phẳng bằng song song với P2,, ,do đó nó vuông góc với P1 và P3. Vậy mặt phẳng bằng cũng là mặt phẳng chiếu đứng và chiếu cạnh.
* Tính chất:
- Hình chiếu đứng của mặt phẳng bằng suy biết thành một đường thẳng trùng với vết đứng của mặt phẳng và song song với trục x.
Hình chiếu bằng của bất kì hình phẳng nào thuộc mặt phẳng bằng cũng có độ lớn bằng chính nó .
?A2B2C2=?ABC
b. Mặt phẳng mặt.
* Định nghĩa:
Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1.
Nhận xét: mặt phẳng mặt song song với P1 ,nên nó vuông góc với P2. Vậy mặt phẳng mặt cũng là mặt phẳng chiếu bằng.
* Tính chất:
- Hình chiếu bằng của mặt phẳng mặt suy biết thành một đường thẳng trùng với vết bằng của nó và song song với trục x.
- Hình chiếu đứng của bất kì hình phẳng nào thuộc mặt phẳng mặt cũng có độ lớn bằng chính nó .
?A1B1C1 = ?ABC
b. Mặt phẳng cạnh.
* Định nghĩa: Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3.
Nhận xét: mặt phẳng cạnh song song với P3,, nên nó vuông góc với P1 , P2. Vậy mặt phẳng cạnh vừa là mặt phẳng chiếu bằng vừa là mặt phẳng chiếu đứng.
* Tính chất:
- Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của mặt phẳng cạnh suy biến thành đường thẳng trùng với vết đứng và vết bằng của nó và vuông góc với trục x.
- Hình chiếu cạnh của bất kỳ hình phẳng nào thuộc mặt phẳng cạnh cũng có độ lớn bằng chính nó.
?A3B3C3 = ?ABC
3.4 đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng
3.4.1. Mệnh đề liên thuộc.
a. Đường thẳng thuộc mặt phẳng.
-Một đường thẳng thuộc một mặt phẳng nếu có 2 điểm phân biệt thuộc mặt phẳng đó.
- Đường thẳng thuộc mặt phẳng nếu có một điểm thuộc mặt phẳng và đồng thời song song với một đường thẳng khác của mặt phẳng.
b. Điểm thuộc mặt phẳng.
- Một điểm thuộc một mặt phẳng nếu nó thuộc một đường thẳng của mặt phẳng đó. áp dụng để giải các bài toán sau:
3.4.2. Các bài toán:
* Bài toán 1: Cho một đường thẳng thuộc mặt phẳng, biết một hình chiếu, tìm hình chiếu thứ hai của nó.
Ví dụ: Cho hình chiếu đứng c1 của đường thẳng c ? ?(a x b), tìm hình chiếu bằng c2.
Giải:
- Nếu c1 ? a1 (hoặc c1 ? b1) , thì c ? a ( hoặc c ? b), vì a,b và c ? (?)- là mặt phẳng bất kỳ .Và trong trường hợp này c2 ? a2 (hoặc c2 ? b2).
Nếu c1 x a1 =11 ; c1 x b1 = 21,,-thì c cắt đường thẳng a và b, .vậy c2 x a2 =12 ; c2 x b2 =22..Đường thẳng qua 1222 là c2 cần tìm.
Nếu c1 // b1 (hoặc c1 // a1)
thì c // b ( hoặc c // a )
vậy c2 // b2 (hoặc c2 // a2)
Trường hợp này, gọi giao của c và a là điểm 1, thì từ 11 = c1 x a1, ta tìm được 12 thuộc a2, qua 12 kẻ
c2 // b2- là hình chiếu phải tìm .
Bài toán 2: Cho một điểm thuộc một mặt phẳng, biết một hình chiếu, tìm hình chiếu thứ hai của nó.
Ví dụ: Cho hình chiếu đứng A1 của điểm A thuộc mặt phẳng ?(n?, m?). Tìm hình chiếu bằng A2.
Giải:
- Qua A ,ta kẻ đường thẳng d nằm trong mf(?).
Vậy qua A1 kẻ đường thẳng bất kì d1 .
- Nối N2, M2 được d2.
Từ A1 dóng xuống d2, ta được A2 cần tìm .
- Gọi N là vết đứng của d, M là vết bằng của d,
thì N ? N1 ? n? , N2 ? x
M1 ? x , M ? M2 ? m?.
- Vậy từ M1 dóng vuông góc với trục x, tìm được M2 ? m?.
3.5 các đường thẳng đặc biệt của mặt phẳng
3.5.1. Đường thẳng đồng mức của mặt phẳng.
a. Đường bằng của mặt phẳng.
* Định nghĩa: Đường bằng của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng và song song với mf hình chiếu bằng P2.
* Tính chất:
- Hình chiếu đứng song song với trục x.
b1 // x
- Hình chiếu bằng song song với vết bằng của mặt phẳng .
b2 // m?
Nhận xét:- Nếu mf là mf bằng, thì mọi đường thẳng của nó đều là đường bằng.
-Nếu mf không phải là mf bằng, thì cũng có vô số đường bằng, chúng song song với nhau và song song với vết bằng của mặt phẳng.
? Cách vẽ đường bằng thuộc mặt phẳng:
- Mặt phẳng cho bởi 2 vết cắt nhau:
+ Có thể vẽ hình chiếu đứng hay hình chiếu bằng của đường bằng trước đều được.
- Mặt phẳng không cho bằng vết:
+ Trước hết vẽ hình chiếu đứng của nó là một đường thẳng song song với trục x.
+ Dựa vào bài toán đường thẳng thuộc mặt phẳng để tìm hình chiếu bằng.
Giải:
- Kẻ b1 // x, giả sử b1 x g1 = 11 ; b1 x h1 = 21
- Tìm hình chiếu bằng 12, 22 của điểm 1và 2
- Nối 12, 22 được b2- là hình chiếu bằng của b
Ví dụ: Vẽ đường bằng b thuộc mặt phẳng ?(g x h).
b. Đường mặt của mặt phẳng.
* Định nghĩa: Đường mặt của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng và song song với mf hình chiếu đứng P1.
* Tính chất:
- Hình chiếu bằng song song với trục x. m2 // x
- Hình chiếu đứng song song với vết đứng của mặt phẳng . m1 // n?
Nhận xét:- Nếu mf là mf mặt thì mọi đt của nó đều là đường mặt.
-Nếu mf không phải mf mặt thì cũng có vô s