Hệ thức lượng trong tam giác 3

Kiểm tra bài cũ
Câu hỏi 1 : Em hãy phát biểu định lí cosin trong tam giác
a2 = b2 + c2 - 2bc cosA
b2 = a2 + c2 - 2ac cosB
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
Câu hỏi 2 : Em hãy phát biểu định lí sin trong tam giác
Trả lời : Trong tam giác ABC , với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp , ta có :
Trả lời : Với mọi tam giác ABC ta có :
Chứng minh :
Do đó ta có :
Nếu C = 900 thì ha = b và sinC = 1
nên ta vẫn có công thức trên
ta được
Ví dụ 1 :
Tính diện tích , bán kính đường tròn nội tiếp , ngoại tiếp tam giác ABC có ba cạnh là a = 13 , b = 14 , c = 15
Giải :
Ta có :
áp dụng công thức Hê rông
Vì
4. Công thức độ dài đường trung tuyến
Định lý : Trong mọi tam giác ABC , ta đều có :
?
Trong đó ma , mb , mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt kẻ từ các đỉnh A , B , C của ? ABC
Gọi AM là đường trung tuyến
vẽ từ A , AM = ma . Ta có :
Các đẳng thức khác chứng minh tương tự
( c2 + b2 +
2bc cosA )
( c2 + b2 +
b2 + c2 - a2 )
?
Chứng minh :
Ví dụ 2 : Cho hai điểm A , B cố định . Tìm quỹ tích những điểm M thoả mãn điều kiện : MA2 + MB2 = k2 ( k là một số cho trước )
Giải:
O
Giả sử có điểm M thoả mãn : MA2 + MB2 = k2
Gọi O là trung điểm đoạn thẳng AB , thì OM là đường trung tuyến trong ? MAB nên :
Ta xét các trường hợp :
* Nếu 2k2 > AB2
* Nếu 2k2 < AB2 thì quỹ tích là tập rỗng
* Nếu 2k2 = AB2
= R
Khi đó quĩ tích M là đường tròn tâm O , bán kính R
thì OM = 0 hay M trùng O
b) Chứng minh rằng trong một hình bình hành tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương hai đường chéo
Giải:
a) áp dụng định lí đường trung tuyến vào ? BAC và ? DAC , ta có :
BA2 + BC2 =
DA2 + DC2 =
Ví dụ 3 : Cho tứ giác ABCD ; I , J là trung điểm của AC và BD
a)CM hệ thức : AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4IJ2
Cộng hai ĐT trên theo từng vế , ta có :
AB2 + BC2 + CD2 + DA2 =
áp dụng định lí đường trung tuyến vào ? IBD , ta có :
BI2 + DI2 =
Thay vào (*) , ta được :
AB2 + BC2 + CD2 + DA2 =
2( BI2 + DI2 ) +AC2 (*)
AC2 + BD2 + 4IJ2
b) Chứng minh rằng trong một hình bình hành tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương hai đường chéo
Ví dụ 3 : Cho tứ giác ABCD ; I , J là trung điểm của AC và BD
a)CM hệ thức : AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4IJ2
Giải:
b) Nếu ABCD là hình bình hành thì
I và J trùng nhau nên IJ = 0 và ta có:
AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2
Vậy :Trong một hình bình hành
tổng bình phương các cạnh bằng
tổng bình phương hai đường chéo