He thong on toan 5 HSG

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi – Lớp 5- Năm học : 2012- 2013
I. Số và chữ số
Bài tập 1: Có bao nhiêu số có 1 chữ số? 2 chữ số? 3 chữ số? 4 chữ số? 5 chữ số?
HƯỚNG DẪN
Các số có 1 chữ số là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Có 10 chữ số.
Từ 1 đến 99 có 99 số, trong đó có 9 số có 1 chữ số. Vậy có 90 số có 2 chữ số.
Từ 1 đến 999 có 999 số, trong đó có 99 số có 1 và 2 chữ số. Vậy có 900 số có 3 chữ số.
Tương tự như vậy, ta tính được có 9000 số có 4 chữ số và 90000 số có 5 chữ số
Bài tập 2:
a) Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2000 thì phải viết tất cả bao nhiêu số? bao nhiêu chữ số?
b) Các số từ 1945 đến số 2000 có bao nhiêu số tự nhiên? có bao nhiêu số chẵn? có bao nhiêu số không có chữ số 5?

HƯỚNG DẪN
Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2000 thì phải viết 2000 số. Trong đó viết:
9 số có 1 chữ số
90 số có 2 chữ số
900 số có 3 chữ số
Từ 1000 đến 2000 có (2000-1000):1 +1 = 1001 số có 4 chữ số.
Vậy phải viết số các chữ số là:
9+90x2+900x3+1001x4 = 6893 chữ số.
b) Từ 1945 đến 2000 có (2000-1945):1+1 = 56 số
Số các số chẵn bằng số các số lẻ nên có 28 số chẵn.
Số có chữ số 5: Trong các khoảng từ 1945-1949, 1960-1969, 1970-1979, 1980-1989, 1990-1999, mỗi khoảng có 1 số chứa chữ số 5. Từ 1950-1959 có 10 số có chứa chữ số 5. Vậy số có chứa chữ số 5 là 15. Do đó có 41 số không chứa chữ số 5.
Bài tập 3:
Cho bốn chữ số 5, 0, 2, 1.
Viết tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số với đủ 4 chữ số đã cho. Em có nhận xét gì về sự xuất hiện của mỗi chữ số ở các hàng?
Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số trên sao cho:
- Mỗi số đều chia hết cho 2
- Mỗi số đều chia hết cho 5.
Hướng dẫn:
Xác lập sơ đồ cây như sau:

2 1 0 2 0

2 1 0 1 0 2

0 2 1

5
Ta lập được các số là:
5021 2051 1025
5012 2015 1052
5201 2501 1205
5210 2510 1250
5102 2105 1502
5120 2150 1520
Nhận xét: các chữ số 5, 2, 1 mỗi chữ số xuất hiện 6 lần ở hàng nghìn, các hàng còn lại, mỗi chữ số xuất hiện 4 lần. Chữ số 0 không đứng ở hàng nghìn, các hàng còn lại mỗi hàng xuất hiện 6 lần (để đủ 18).
b) Từ nhận xét trên ta thấy có 6 số có tận cùng bằng 0, 4 số có tận cùng bằng 2 nên có 10 số chia hết cho 2.
Tương tự có 4 số có tận cùng bằng 5 và 6 số có tận cùng bằng 0 nên có 10 số chia hết cho 5.
Bài tập 4: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được lập bởi:
a) Các chữ số 1, 2, 3
Các chữ số 0, 4, 5, 6.
Bài tập 5:
a) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và khác 8?
b) Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà mỗi số đó có ít nhất một chữ số là 8?.

*Một vài kiến thức bổ trợ cho giáo viên để giải nhanh loại bài tập này:
Giai thừa: giả sử n là số tự nhiên. Viết n! đọc là n giai thừa
n! = 1x2x3x4x…xn
Ví dụ: 5! = 1x2x3x4x5
Quy ước: 0! = 1; 1! = 1
2) Chỉnh hợp lặp và không lặp
a) Chỉnh hợp không lặp chập k của n
Kí hiệu Akn = (n!): (n-k)!
b) Chỉnh hợp lặp chập k của n
Kí hiệu Akn = nk
(Chú ý: k luôn bé hơn hoặc bằng n)