Hệ phương trình bậc hai

Ôn tập chương IV
Phần I:
Phương trình bậc hai
Phần II:
Bất phương trình và hệ bất PT bậc hai
Phần III:
Phương trình và bất PT qui về bậc hai
Phần IV:
Hệ phương trình bậc hai
HÖ ph­¬ng tr×nh bËc hai
1. Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất của hai ẩn
Cách giải:
Từ PT bậc nhất của x và y rút 1 ẩn theo ẩn kia rồi thế vào PT bậc 2, ta được một PT bậc hai theo một ẩn
2. Hệ phương trình đối xứng đối với x và y
Định nghĩa :
Hệ phương trình đối xứng đối với x và y là hệ mà mỗi PT của hệ không thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi x
Cách giải:
Đặt S = x + y ; P = xy biến đổi hệ PT về 2 ẩn S và P
Sau khi tìm được S và P thì x, y là nghiệm của PT bậc 2
Bài 5 (trang 128)
Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)
c)
a)
Bài giải :
Từ PT (2)
y = 1 - 2x
?
Thế vào PT (1) ta được :
x2
-
5x(1-2x)
+
(1-2x)2
= 7
?
x2
-
5x
+
10x2
+
1
-
4x
?
+
4x2
-
7
=
0
15x2
-
9x
-
6
=
0
?
x = 1
Với x = 1
Ta có
y =
-1
Với
Ta có
y =
Vậy:
Hệ PT đã cho có 2 nghiệm:
b)
Đặt:
S = x + y; P = xy
Hệ đã cho trở thành
S2 - 2P + S = 8 (1)
P + S = 5 (2)
Từ PT (2)
?
P =
5 - S
Thế vào PT (1)
Ta được:
S2 -
2(5-S)
+
S
= 8
?
S2 +
3S
-
18
= 0
?
S = 3
S = - 6
Khi S = 3 thì P = 2,
do đó ta có :
x + y =
xy =
3
2
x, y là nghiệm của PT bậc hai
X2 - 3X +2
= 0
?
X= 1
X = 2
Trường hợp này hệ PT đã cho có hai nghiệm
(1;2) và (2;1)
Khi S = -6 thì P =11
Dễ thấy
S2 - 4P = 36 - 44 = -8 <0
Suy ra hệ vô nghiệm
Kết luận
Hệ PT đã cho có 2 nghiệm:
(1;2) và (2;1)
c)
(I)
Đặt t = -x ta được hệ phương trình
t2 + y2 + t + y = 2
- ty - t - y = - 1
?
t2 + y2 + t + y = 2
ty + t + y = 1
(II)
Đáp số
Hệ PT (II) có 2 nghiệm
t = 0
y = 1
và
t = 1
y = 0
Do đó hệ PT (I) có 2 nghiệm
x = 0
y = 1
và
x = -1
y = 0
Bài tập
Giải hệ phương trình sau
+
x + y = 5
= 4
Giải:
Điều kiện
x + 1 ? 0
y + 2 ? 0
?
x ? - 1
y ? - 2
Đặt
u =
v =
( u ? 0 ; v ? 0 )
Hệ phương trình đã cho trở thành:
u + v = 4
u2 + v2 = 8
Đặt S = u +v , P = uv ta có hệ phương trình:
S =4
S2 - 2P = 8
?
P = 4
S = 4
Do đó
u + v = 4
uv = 4
?
u = 2
v = 2
Vì vậy theo cách đặt ban đầu ta có:
= 2
= 2
?
x = 3
y = 2
Vậy hệ PT có 1 nghiệm
x = 3
y = 2
Tìm chỗ sai trong lời giải bài toán sau:
Bài toán:
Cho hệ phương trình
x2 + y2 = m
xy = 1 - m
Tìm những giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm
Bài giải:
Đặt S = x + y ; P = xy hệ PT đã cho trở thành
S2 - 2P = m
P = 1 - m
Thay P = 1 - m vào PT thứ nhất ta có
S2 - 2(1 - m) = m
?
S2 = 2 - m
(*)
Hệ PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi PT (*) có nghiệm tức là:
2 - m ? 0 ? m ? 2
Bài giải:
Đặt S = x + y ; P = xy hệ PT đã cho trở thành
S2 - 2P = m
P = 1 - m
Thay P = 1 - m vào PT thứ nhất ta có
S2 - 2(1 - m) = m
?
S2 = 2 - m
(*)
Hệ PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi PT (*) có nghiệm S thoả mãn S2 - 4P ? 0 tức là ta phải có điều kiện
2 - m ? 0
3m - 2 ? 0
?
m ?
m ? 2
?
Vậy:
thì hệ phương trình đã cho có nghiệm
Với