HD giải toán về Tứ giác nội tiép

HD giải các bài toán về Tứ giác nội tiép và liên quan TGNT

Dấu hiệu một tứ giác nội tiếp trong đường tròn :
Tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng 1800
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó.
Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm.
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.


Bài 1 (Bài 53 trang 89 sgk toán lớp 9 tập 2)
Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ô trống (?) trong bẳng sau (nếu có thể)

Trương hợp
1
2
3
4
5
6

góc A
80o
?
60o
?
 ?
95o

Góc B
70o 
 ?
 ? 
40o
65o
 ?

Góc C
?
105o
 ?
?
74o
 ?

Góc D
?
 75o
 ?
?
 ?
98o 


Hướng dẫn giải: (Áp dụng tính chất 1)
- Trường hợp 1:
Ta có 
 + 
 = 180o => 
 = 180o – 80o = 100o
         
 + 
 =  180o => 
 = 180o – 70o = 110o
( Vậy  
 = 100o , 
  = 110o
- Trường hợp 2:
Ta có  
 + 
 = 180o => 
 = 180o  - 
= 180o – 105o = 75o
         
 + 
 =  180o => 
 = 180o  - 
= 180o – 75o = 105o
- Trường hợp 3:

 + 
 = 180o => 
 = 180o  - 
= 180o – 60o = 120o
 
 + 
 =  180o  Vì không cho điều kiện khác nên có nhiều đáp án.
Chẳng hạn nếu chọn 
= 70o  (
 =  110o ;

= 100o  (
 =  80o ;
= 150o  (
 =  30o ….
Trường hợp 4:  
 = 180o  - 
= 180o – 40o = 140o
Còn lại 
 + 
 = 180o  Vì không cho lđiều kiện khác nên có nhiều đap án
Chẳng hạn chọn 
=  100o ,
 = 80o
-   Trường hợp 5:  
 = 180o  - 
= 180o – 74o = 106o
                         
 = 180o  - 
= 180o – 65o = 115o
-  Trường hợp 6: 
 = 180o  - 
= 180o – 95o = 85o
                        
 = 180o  - 
=180o – 98o = 82o
Vậy điền vào ô trống ta được bảng sau: (màu đỏ là Đáp án)
Trương hợp
1
2
3
4
5
6

góc A
80o
75o
60o
 * 100o
 106o
95o

Góc B
70o 
 105o
 *70o 
40o
65o
 82o

Góc C
100o
 105o
 120o
 * 80o
 74o
 85o

Góc D
110o
 75o
 * 110o
 140o
 115o
 98o 


BÀI 2 :Bài 56 trang 89 sgk toán lớp 9 tập 2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O và có 2 cặp cạnh đối diện kéo dài tạo thành góc 200; 400. Hãy tìm số đo các góc của tứ giác nội tiếp (TGNT) đó


Hướng dẫn giải:
Cách 1 ( Theo Trần Thanh Phong)
Đặt x = 
 = 
 (hai góc đối đỉnh). Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có:
      
  = x +  40o         (1)
      
 =  x + 20o          (2)
Theo hai góc đối diện tứ giác nội tiếp ta có 
 +
 = 180o       (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:  180o = 2x + 60o =>  x = 60o   
Từ (1), ta có:  
 = 60o  + 40o = 100o  
Từ (2), ta có:
 = 60o  + 20o = 80o 

 = 180o –  x (hai góc kề bù) => 
 = 120o

 = 180o - 
 (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp) => 
 = 180o – 120o = 60o  

Cách 2 Áp dụng tính chất 1 và 2 gọn và tổng quát hơn
Gọi 2 góc đối đỉnh tại C là (;
Góc C của TGNT kề bù (
( (C = 180 - (
Theo tính chất 2 của TGNT thì
( (A = (
Góc D của TGNT là góc ngoài của ∆DCF mà (CDF = 160o - ( ((D = 200 + (
Đến đây ta có 2 cách tính ( :
* Tính theo TGNT (tính chất 1) có 1800 = (40 + () + (20 +( ) ((( = 600
* Tính theo tổng 3 góc của ∆EDB có: 1800 = 400 + 200 + 2( ((( = 600
BÀI 3 (Bài 55 SGK). 
Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp