HD giải bài toán vuông-tròn.doc

HD GIẢI BÀI TOÁN VUÔNG-TRÒN

Đây là 1 bài toán hình khá hay, có liên quan đến tam giác vuông, hình vuông, đường tròn, cung tròn nên NBS tạm đặt tên là “Bài toán vuông tròn”
Đề bài :
CM rằng , hai dây cung vuông góc trong một đường tròn (bán kính r) cắt nhau tạo thành 4 đoạn thẳng (a,b,c,d). Khi đó tổng diện tích 4 hình vuông với 4 độ dài cạnh lần lượt là 4 đoạn thẳng đó bằng diện tích hình vuông có độ dài cạnh là đường kính hình tròn.(2r) Hình 1

HD Giải
Đề cho BD ( CA nên ta có 4 tam giác vuông tương ứng (HBC, (HBA, (HAD, (HCD; Ta phải chứng minh 2r 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 (Hình 2 và Hình 3)

Hình 2
Hình3
Điều đó làm ta nghĩ phải áp dụng Định lí Pitagor về tam giác vuông

CB là cạnh huyền của HBC
( Hình vuông dựng trên BC có diện tích S1 = a2 + d2
AD là cạnh huyền của HAD
( Hình vuông dựng trên AD có diện tích S2 = b2 + c2
Hình 4

Tiếp theo ta chứng minh CB và AD có độ dài bằng 2 cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có cạnh huyền là 2r
Bước này ta phải vân dụng các định lí về dây cung, góc chắn cung, góc ở tâm đường tròn. Thật vậy:
CB và AD là 2 dây cung trong đường tròn O . (Hình 5a & 5b)
Góc ( chắn cung AD nên so với góc ở tâm AOD thì
AOD = 2ACD ( AOD = 2(
- Tương tự, BOC = 2 BDC ( BOC = 2(
Nếu xoay cho AD và CB xung quanh tâm O để cho B và A trùng vào điểm E; Khi ấy có 2( + 2( = 1800
( ( + ( = 900 vì đây là 2 góc nhọn trong tam giác vuông HCD)
( D,O,C thẳng hàng và trùng với đường kính đường tròn ( DC = 2r
Vây tam giác ECD là tam giác vuông ở E


Hình 5 a và 5b

Trở về định lí Pitagor ta có điều phải chứng minh






-------------------------------------------


NBS Phạm HH 10 -2013 ---- có TK hình của VIETNAMNET.COM