HD giải 6 bài toán về Phương trình vô định

HD giải 6 bài toán về Phương trình vô định
1/ Vài khái niệm
Phương trình vô định nói chung và phương trình vô định nghiệm nguyên nói riêng có ý nghĩa quan trọng trong toán học và trong thực tế, bởi vậy đã được các nhà toán học trên thế giới nghiên cứu từ rất lâu, được đề cập tới trong bất kì một cuốn sách số học cơ bản nào và hiện nay vẫn chiếm một vị trí quan trọng trong nghiên cứu và học tập.
Ta có thể hiểu: Phương trình vô định (hoặc còn gọi phương trình Diophantus) thường là phương trình đại số với hệ số nguyên và số ẩn bất kỳ, nghiệm của nó được tìm trong tập hợp một dạng số nào đó như số nguyên, số nguyên dương, phân số hữu tỷ,…
Bằng kiến thức phổ thông, ngay cả HS tiểu học cũng có thể tiếp cận được với việc giải phương trình vô định. Thí dụ như một số bài toán dân gian ( Gà và chó, Trâu và cỏ…). Tuy nhiên, nhiều phương trình vô định phát biểu rất đơn giản nhưng cho đến ngày nay cũng chưa có cách giải hữu hiệu.
Một phương trình vô định thường có dạng P(x, y, …,z)=0, ở đây P(x, y, …, z là một đa thức nhiều biến với hệ số nguyên.
Để giải một phương trình vô định nghiệm nguyên người ta thường phải trả lời những câu hỏi sau:  
Phương trình có tồn tại ít nhất một nghiệm nguyên không?
Phương trình có hữu hạn hay vô hạn nghiệm?
Tìm tất cả những nghiệm nguyên của phương trình?
Tuy nhiên, với HS phổ thông , thường chỉ gặp các bài toán tìm nghiệm nguyên, nghiệm nguyên dương
2/ Một chút lịch sử phương trình vô định
Người có công nhiều nhất cho việc thiết lập cách giải phương trình vô định là nhà toán học Diophantus người Hy Lạp . Ông sống vào thế kỷ thứ III trước công nguyên. Diophantus đã hệ thống tất cả các bài toán phương trình vô định vào bộ sách 13 tập có tên Số học. Cho đến ngày nay bộ sách này chỉ còn 6 tập với 189 bài toán. Nhưng về cuộc đời của Diophantus ta biết rất ít. Chỉ còn lưu truyền bài thơ
Một phần sáu cuộc đời Diophantus là trẻ nhỏ Nửa một phần sáu là tuổi thiếu nhi Thêm một phần bảy nữa ông ta lấy vợ và sau năm năm sinh cậu con trai Cậu con trai chỉ sống bằng nửa tuổi bố Sau bốn năm khi người con chết ông cũng qua đời. Người làm ra bài thơ này cũng là nhà toán học Hy Lạp. Qua bài toán này, ta biết Diophantus đã sống 84 tuổi.
Ta nhắc lại đây một bài toán của Diophantus, tất nhiên theo ngôn ngữ hiện đại.
Bài toán: (Quyển II. Bài 8) Hãy phân tích một số chính phương thành tổng hai số chính phương. Cần phân tích số 16  ra tổng hai số chính phương.
Lời giải. (Của Diophantus). Gọi một số đã phân tích là x2 . Khi đó số kia là 116-x2 . Suy ra số 16-x2 phải là số chính phương.
Ta tạo số chính phương từ một bội bất kỳ của x, giảm đi 4, chẳng hạn đó là 2x – 4 . Trong trường hợp như vậy số chính phương sẽ là 4x2 +16 – 16x . Nhưng số đó phải bằng 16 – x2 .
4x2 +16 – 16x = 16 – x2  ( 5x2 = 16x.  ( x  = 16/5.
Như vậy ta tìm được một số là x 2 = 256/25, còn số kia y2 = 144/25.
Bài toán trên nói lên rằng Diophantus đã biết giải phương trình x2 + y2 = z2 trong số hữu tỷ, suy ra và cả trong tập số nguyên.
Từ bài toán trên dẫn đến định lý Pythagoras trong hình học.
Qua bài toán trên đã chỉ ra rằng Diophantus giải được phương trình vô định x^2+y^2=a^2  có nghiệm trong tập số hữu tỷ ít nhất với một a  nào đó.
Thực ra phương trình có nghiệm với mọi a, vì a^2=((2am)/(m^2+1))^2+( a(m^2-1)/(m^2+1))^2.
Một câu hỏi đặt ra là một số lập phương có phân tích ra tổng hai số lập phương?
Phải chăng câu hỏi này đặt ra từ thời Diophantus?
Rất lâu sau khi ra đời cuốn sách của Diophantus, một nhà toán học Pháp P. Fermat ghi chú bên cạnh bài toán phân tích một số chính phương thành tổng hai số chính phương khẳng định sau:
 ”Không thể phân tích số lập phương ra tổng hai số lập phương, một số tứ phương ra tổng hai số tứ phương và v.v.”. Thay vào cách chứng minh, Fermat chú thích rằng đã tìm được cách chứng minh rất hay, nhưng