HD giải 6 Bài toán quỹ tích.doc

HD Giải Bài toán quỹ tích
Bài toán quỹ tích thường được phát biểu dưới dạng: Cho một cấu hình có một số yếu tố cố định và một (hoặc vài) yếu tố thay đổi theo một yêu cầu nào đó (điểm di chuyển trên một đường tròn, đường thẳng quay quanh một điểm …). Yếu tố thay đổi này sẽ dẫn đến sự di động của một số yếu tố điểm khác. Yêu cầu tìm quỹ tích các yếu tố điểm liên quan.
1/ Các bước giải bài toán quỹ tích:
Phần thuận: Phân tích các yếu tố cố định và thay đổi để chỉ ra tập hợp mà điểm cần tìm quỹ tích phải thuộc vào (thường là đường tròn, đường thẳng). Ta sẽ sử dụng các quỹ tích cơ bản (như cung chứa góc, trung trực, đường tròn Appolonius …) để xác định và chứng minh quỹ tích. Để dự đoán quỹ tích, có thể phải vẽ một số vị trí (trong đó có các vị trí đặc biệt) của cấu hình.

Phần đảo: Sau khi đã làm phần thuận, tức là xác định tập hợp M những điểm mà quỹ tích thuộc vào, ta cần xem xét xem với những điểm P nào thuộc M thì tồn tại một cấu hình có vị trí điểm cần tìm quỹ tích trùng với P. Bước này sẽ loại bỏ những điểm không tương ứng với một cấu hình nào.

Giới hạn: Sau khi thực hiện phần đảo, ta có thể sẽ thấy rằng chỉ một phần của M thuộc về quỹ tích. Bước này mô tả rõ phần đó. Ví dụ mặc dù điểm P thuộc đường tròn (C) nhưng quỹ tích có thể chỉ là một cung của (C).
Kết luận: Dựa trên các phần trên kết luận quỹ tích là tập hợp những điểm như thế nào.

Bài toán mẫu.
Cho đường tròn (C) tâm O. P là một điểm cố định nằm trong (C) nhưng không trùng với O. Một đường thẳng (d) thay đổi qua P cắt (C) tại A và B. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn AB khi (d) quay quanh P.
Giải
Phần thuận: Nối OM. Vì tam giác OAB cân tại O nên OM vuông góc với AB. Suy ra góc OMP vuông. Như vậy M luôn nhìn đoạn OP cố định dưới một góc vuông. Vậy M luôn thuộc đường tròn đường kính OP.

Phần đảo: Lấy một điểm M’ bất kỳ thuộc đường tròn đường kính OP (M khác O). Nối OM’. Qua M’ kẻ đường thẳng (d) vuông góc với OM’ cắt (C) tại A’ và B’. Do góc OM’P = 900 nên (d) đi qua P. Vì tam giác OA’B’ cân tại O và OM’ vuông góc với A’B’ nên M’ là trung điểm của AB. Vậy M’ là một điểm thuộc quỹ tích.

Giới hạn: Theo chứng minh trên thì mọi điểm M trên đường tròn đường kính OP khác O đều thuộc quỹ tích và ngược lại, mọi điểm thuộc quỹ tích đều thuộc đường tròn trên. Cuối cùng, vị trí M trùng O tương ứng với trường hợp (d) đi qua O. Như vậy, quỹ tích là cả đường tròn đường kính OP.

Kết luận: Quỹ tích là đường tròn đường kính OP.

Ghi chú: Nếu P là một điểm nằm ngoài đường tròn thì quỹ tích sẽ chỉ là phần đường tròn đường kính OP nằm bên trong (C). Như vậy phần đảo và phần giới hạn là có ý nghĩa và nói chung không thể bỏ qua.

2. Một số quỹ tích cơ bản

1. Quỹ tích những điểm cách đều hai điểm A và B là đường trung trực của đoạn thẳng đó, tức là đường thẳng qua trung điểm M của AB và vuông góc với AB.

2. Quỹ tích những điểm A cách một điểm I cố định một đoạn AI = R không đổi là đường tròn tâm I bán kính R.

3. Quỹ tích những điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau a và b là hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng đó.

4. Quỹ tích những điểm cách một đường thẳng a cho trước một đoạn d không đổi là hai đường thẳng song song với a và cách a một khoảng cách bằng d.

5. Quỹ tích những điểm nhìn đoạn AB cố định một góc α cố định là hai cung chứa góc α nhận AB làm dây cung. Đặc biệt, nếu α = 900 thì quỹ tích là đường tròn đường kính AB.

6. Cho hai điểm A, B và số thực k. Quỹ tích những điểm M sao cho MA2 – MB2 = k là một đường thẳng vuông góc với AB tại H, trong đó H xác định bởi hệ thức:



7. Cho hai điểm A, B với AB = 2a và số thực dương k. Quỹ tích những điểm M sao cho MA2 + MB2 = 2k2 là tập rỗng nếu k2 < a2 và là đường tròn tâm I, bán