HD giải 6 bài tập đương tròn nội ngoại tiếp.doc

HD Giải 6 Bài toán về đường tròn nội & ngoại tiếp tam giác

I.-Nhắc lại Kiến thức cơ bản
1/- Mọi tam giác đều có thể dựng được 1 (và chỉ 1 mà thôi) đường tròn ngoại tiếp và cũng chỉ có 1 đường tròn nội tiếp.
2/- Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực (thuộc 3 cạnh của tam giác đó)
3/- Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm của 3 đường phân giác (thuộc 3 góc của tam giác đó)

II.- Bài toán liên quan đường tròn ngoại tiếp & nội tiếp tam giác

Bài 1:

Cho ( ABC vuông tại A có AB = 9cm, AC=12cm. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp, gọi G là trọng tâm của tam giác. Hãy tính GI =? 
Giải
Lấy J,D thứ tự là trung điểm BC, BA. Hạ GE`
 BA và IE 
 BA. JD là đường trung bình  của ( ABC
( JA =1/2BC= 15/2 ( AD =1/2AB= 9/2 G là trọng tâm ( ABC (AG/AJ = 2/ 3 Vì (GAE’ ( (JAD ( AE′/AD = AG/AJ= 2/3 ( AE′=3
Lại có:
AE=(AC+AB−BC):2 =3 ( E ≡ E′ ( G;I;E thẳng hàng
( GI = GE′−IE′ = 1(cm) 

Bài 2
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O), AD là đường kính đường tròn O đi qua A. lấy E,K lần lượt là trung điểm AB và OD.
Chứng minh rằng: tứ giác AEKC là tứ giác nội tiếp đường tròn


HD Giải
Lấy M là trung điểm EB, nối KM. Ta có KM//BD; BD(AB (KM(AB.
Tức là tam giác KEB cân tại K. ( (BEKˆ= (EBKˆ(1).
Mặt khác, vì tam giác ABC cân tại A nên AD là đường trung trực của BC. Mà K (AD nên (KCAˆ=(KBAˆ(2).
Từ (1) và (2) suy ra ( BEKˆ= (KCAˆ ( (KCAˆ+(AEKˆ=180o
Vậy ( tứ giác AEKC nội tiếp.


Bài 3
Cho đường tròn O1 tiếp xúc với đường tròn O2 ngoại tiếp tam giác ABC tại đỉnh A; đường tròn O1 cắt hai cạnh AB,AC của tam giác lần lượt tại M,N . Chứng minh các đoạn thẳng được chia theo tỉ lệ: AM/AB=AN/AC

HD Giải
Ta có A , O1, O thẳng hàng (tiếp xúc trong) Từ O1  kẻ O1X
AC  và O1Y
AB
Từ O2  kẻ O2X1
AB  và O2Y1
AB
( Có: XA =XN; YA=YM;
AX1=X1C; AY1 = Y1B Gọi XA =XN =a ; YA=YM =b , Ta có AX/AX1=O1I/AO = a/AC/2 →a/AC/2=b/AB/2=AM/AB=AN/AC (đpcm)


Bài 4 :
Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp(O) tâm O, và đường tròn nội tiêp(I) . Lấy điểm D bất kỳ trên BC .
Đường tròn (P) tiếp xúc với DC, DA tại E,F và tiếp xúc trong với (O) tai K .
Chứng minh I,E,F thẳng hàng.


Bài giải:
Để giải bài toán này ta phải dự vao 2 bổ đề sau:
Bổ đề 1: 
AB là dây của đường tròn (O). Đường tròn (I) tiếp xúc với dây AB tại K và tiếp xúc trong với (O)  tại T. Gọi L là phân giác giao điểm của TK với (O).
Khi đó, ta có: L là trung điểm của cung AB không chứa T và được đẳng thức:

 LA2 = LK.LT





Bổ đề 2:  ( Hình 3)
Điểm M là trung điểm của cung BC không chứa A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
I ([MA] sao cho MI = MB.
Khi đó, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

cắt 



Quay lại bài toán:
Kẻ KF cắt (O) tại L, kẻ AL cắt EF tại I

Theo bổ đề 1, ta có 
AL là phân giác của ( BACˆ
Mặt khác, ta có: 
(FEKˆ=(IAKˆ=(FKxˆ (AIEK nội tiếp
(AIKˆ=AEKˆ=EFKˆ ( ΔLFI ( ΔLIK (LI2=LF.LK

Lại theo bổ đề