HD giải 3 bài về đường tròn nội tiếp

HD giải 3 bài toán đường tròn nội tiếpTam giác

(Bài toán 1:Chứng minh rằng mọi tam giác đều có thể chia thành 6 tam giác cân.
Đề toán này quá tổng quát, làm cho HS không biết lần từ đâu. Nhưng nếu tìm tòi một chút chúng ta có thể bắt đầu từ 1 bài toán đơn giản hơn:

Bài 1’: CMR: Đường trong nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc 3 cạnh của tam giác tại D,E,F thì tâm O của đường tròn cùng các diểm A,B,C và DEF chia tam giác ABC thành 6 tam giác cân..

Giải: Qua hình bên ta thấy, O là trực tâm của (ABC ( OE ( AB; OF ( AC; OD ( BC tạo ra các tam giác vuông tương ứng đôi một bằng nhau
( AE =AF; CF= CD; BD = BE ( ta có 3 tam giác cân. Đó là (AEF; ( CDF ; (BED..
Bên trong (EFD là 3 tam giác cân ( vì O jà trực tâm): (OEF; ( OED và (OFD. Như vậy bài toán 1’ đớc chứng minh ( Bài toán 1 dạ vào đó cũngc đợc chứng minh

( Bài toán 2
Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng S(ABC=BD.CD.

Giải
Gọi bán kính của (O) là r . (O) tiếp xúc với AB AC lần lượt tại E F. Nối O với A,B,C ta có 3 ( cùng có đường cao =r, do đó:
S(OAB = ½.r. AB
S(OBC = ½.r. BC
S(OAC = ½.r. AC
----------------------------
S(ABC = ½.r. (AB+BC+AC)
( 2S(ABC)= r. (AB+BC+AC) =r.(AE+BE+BD+DC+CF+AF)
=(2r+2BC)r (Vì OEAF là hình vuông nên AE=AF=OE=OF=r) ( S(ABC)= r2 +BC.r Mặt khác 
2S(ABC)=AB.AC=(r + BD)(r + CD) = r2 + r. (BD+CD) + BD.CD
= r2 + r. .BC+BD.CD = S(ABC)+BD.CD Vậy ( S ( = .. (ĐPCM)

( Bài toán 3 Cho tam giác ABC có số đo các đường cao là các số nguyên, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác=1. Chứng minh Tam giác đó đều. 

Lời giải 1 Gọi độ dài 3 cạnh (ABC lần lượt là a,b,c. Đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C là x,y,z. Bán kính đường tròn nội tiếp (ABC = 1. Khi đó ta có SABC=1/2ax=1/2by=1/2cz=1/2(a+b+c)r ( a x = by = cz = a+b+c (*( ta có: ax = by = cz ( a: 1/ x= b:1/ y=c:1/z ( (a+b+c): (1/x+1/y+1/z) = a+b+c ( (1/x+1/y+1/z) = 1 Giả sử:  0 ≤ x ≤ y ≤ z (1/x ≥1/y ≥ 1/z ( 3/x ≤ 1 ( x ≤ 3 Thử từng trường hợp: *x=1. ( Loại trực tiếp, miễn bàn *x=2  (1/y+1 / z= ½. Mà x,y ϵ Z (y,z ϵ {(4,4);(3;6)} y = z = 4 ( 2a = 4b = 4c  Áp dụng BDT tam giác vào  ( ABH thấy ko thỏa mãn(loại y=3;z=4⇒2a=3b=4c (loại) *x=3 x = y = z = 3 ( a=b=c ( (ABC:đều (đpcm). 

Lời giải 2 (ngắn đẹp hơn nếu đã học công thức Heron)
Gọi ha là đờng cao hạ từ A ; p là ½ chu vi ( thì
r=1=S/p ( S=p
ha=2S/a=2p/a = (a+b+c)/a =1+ (b+c)/a ( (b+c)a=x với x ( N *
Do a,b,c là 3 cạnh tam giác nên (b