HÀM SỐ PHỨC VÀ ÁNH XẠ

CHƯƠNG 2
HÀM SỐ PHỨC VÀ ÁNH XẠ
2.1 Hàm số phức
2.2 Ánh xạ của hàm số phức
2.3 Ánh xạ tuyến tính
2.4 Hàm lũy thừa đặt biệt
2.4.1 Hàm lũy thừa zn
2.4.2 Hàm lũy thừa z1/n
Một hàm số f từ tập A đến tập B là qui luật tương quan ngẫu nhiên từ mỗi phần tử trong A đến một và chỉ một phần tử trong B.

2.1 Hàm số phức:
Một hàm số phức f là một hàm số có miền xác định ( D(f) ) và miền giá trị ( R(f) ) là tập con của tập số phức C
VD :
f(z) = -z3 + 2.z + z
z = i b) z = 2 – i c) z = 1+2i
Giải:
f(i) = -(i)3 + 2.(i) + i = 4i
f(2 - i) = -(2 - i)3 + 2.(2 - i) + 2 - i
= -(8 – 12i + 6i2 - i3) + 4 – 2i + 2 – i
= 4 + 8i
c) f(1 + 2i) = -(1 + 2i)3 + 2.(1 + 2i) + 1 + 2i
= -(1 + 6i + 12i2 + 8i3) + 2 + 4i +1 +2i
= 14 + 8i
Phần thực và phần ảo của hàm số phức
Ta có w = f(z) mà z = x + iy
đặt w = u + iv
Giả sử w = z2
=> w = ( x + iy)2 = x2 - y2 + 2xyi
=> f(z) = u(x,y) + v(x,y)i
u(x,y) gọi là phần thực.
v(x,y) gọi là phần ảo.
VD:
f(z) = 6z – 5 + 9i
với z = x + iy
f(z) = 6.(x + iy) - 5 + 9i
= 6x – 5 + (6y + 9)i
=> u(x,y) = 6x – 5
v(x,y) = 6y + 9
Hàm số mũ số phức ez
Hàm số ez được định nghĩa như sau :
ez = excosy + iexsiny
thì được gọi là hàm số mũ số phức và
u(x,y) = excosy - phần thực
v(x,y) = exsiny - phần ảo
Một số tính chất:
e0 = 1
e e = e

= e

(ez )n = enz với n = 0, ±1,± 2,…


VD:
a) z = 3 + i

=> x = 3, y =

e3 + i = e3cos ( ) + ie3 sin ( )

= -e3 + ie3
Toạ độ cực:
z = x + iy biểu diễn ở dạng Đề Các :
z = r(cosθ + isin θ) = reiθ
Nếu w = f(z), ta thay z = r(cosθ + isin θ) lúc này hàm số được viết dưới dạng toạ độ cực như sau:
w = f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ)
u(r, θ) và v(r, θ) vẫn được gọi là phần thực và phần ảo của w.

VD:
f(z) = r2.cos + i.3.sin(2.θ) với z = i
Ta có:
i = cos + i.sin

r = 1 , θ =

f(i) = cos + 3.sin .i

=

2.2 Ánh xạ của hàm số phức:
Công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu hàm thực trong đại số sơ cấp là đồ thị của hàm. Đồ thị của hàm y = f(x) là tập tất cả các điểm (x,f(x)) trong hệ toạ độ Đề Các 2 chiều.
Một định nghĩa tương tự cho hàm số phức. Tuy nhiên nếu w= f(z) là hàm phức, cả z và w đều nằm trên mặt phẳng phức, nó gồm tất cả các điểm (z,f(z)) nằm trên không gian 4 chiều (2 chiều từ đầu z vào 2 chiều từ đầu ra của w).

Dĩ nhiên tập con của không gian 4 chiều không thể dễ dàng minh hoạ.Vì vậy:
Chúng ta không thể vẽ đồ thị của hàm phức


Nếu w = f(z) là ánh xạ phức và nếu S là tập các điểm trong mặt phẳng z, chúng ta gọi tập các ảnh ảo S qua f là ảnh của S, kí hiệu S’.

Nếu tập S có tính chất cộng thì S là miền xác định, kí hiệu là D, D’.
Sự biểu diễn giống như hình 2.1 mang ý nghĩa truyền thông tin về mối liên hệ tổng quát giữ điểm tuỳ ý z và ảnh của nó w = f(z).

VD:Ảnh của nữa mặt phẳng dưới w = iz.

Tìm ảnh của nửa mặt phẳng Re ≥ 2 dưới ánh xạ phức w = iz và biểu diễn hình học ánh xạ.

Giải: Đặt S là nửa mp chứa tất cả những điểm phức z với Re 2.
Tất cả những điểm z trên
đường x = 2 có pt z = 2 + iy trong vùng (-∞ < y < ∞).
Giá trị của f(z) = iz tại các điểm trên đường thẳng là w = f(2 + iy) = -y + 2i.
Vì tập các điểm w = -y +2i là
đường v = 2 trong mp w.

Ta kết luận đường x = 2 trong mp z được ánh xạ lên đường v = 2 trong mp w bởi ánh xạ w = iz.

Ở hình 2.2 a) tập S có thể được miêu tả bởi 2 bất đẳng thức đồng thời:
x ≥ 2 và -∞ < y < ∞ (1)
Để biểu diễn ảnh của S, chúng ta biểu diểu ánh xạ w = iz trong phần thực và ảo u, v của nó.Ta thay z = x +iy vào w = iz
w = i(x + iy) = -y + ix
u(x,y) = -y và v(x,y) = x (2)
Từ (1),(2) : v ≥ 2 và -∞ < u < ∞
Đó chính là tập S’ ảnh của S qua w = iz bao gồm tất cả các điểm w = u + iv trong mp thõa 2 bất đẳng thức đồng thời:
v ≥ 2 và -∞ < u < ∞
VD 2: Ảnh của đường thẳng w = z2
Tìm ảnh của đường thẳng đứng x = 1 dưới ánh xạ phức w = z2 và biểu diễn hình học ánh xạ.
Giải:
Đặt C là tập các điểm thuộc đường thẳng x = 1 hay tập các điểm z = 1 + iy với -∞ < y < ∞.
Như ở VD 1 phần thực và phần ảo của w = z2 là u(x,y) = x2 – y2 và v(x,y) = 2xy .
Vì z = 1 + iy  u(1,y) = 1 – y2 ,v(1,y) = 2y
 S’ là tập các điểm thuộc w = u + iv thoã 2 pt đồng thời:

 u = 1 -
y có thể lấy giá trị thực từ v
nên v nhận giá trị thực C’ (ảnh của C) là đường parabol trong mp w với đỉnh
(1,0), cắt u tại (0,±2).Trên hình đường x = 1 được ánh
xạ thành đường parabol
u = 1 - qua ánh xạ phức w = z2

Đường cong tham số trong mp phức:
Định nghĩa:
Nếu x(t) và y(t) là những hàm thực của biến thực t ,khi đó tập C gồm tất cả các điểm z(t) = x(t) + iy(t), a ≤ t ≤ b đgl đường cong tham số hoặc đường cong tham số phức.Hàm trị phức của biến thực t, z(t) = x(t) + y(t) đgl hàm tham số của C
Những đường cong tham số chính trong mp phức :



Đường thẳng:
Hàm tham số của đường thẳng qua điểm z0 và z1 là:
z(t) = z0(1 – t) + z1t -∞ ≤ t ≤ ∞
Đoạn thẳng:
z(t) = z0(1 – t) + z1t 0 ≤ t ≤ 1
Tia:
z(t) = z0(1 – t) + z1t 0 ≤ t ≤ ∞
Đường tròn:
z(t) = z0 + r(cost + isint) 0 ≤ t ≤ 2
Tính gần đúng:
z(t) = z0 + reit 0 ≤ t ≤ 2

Ảnh của đường cong tham số dưới ánh xạ phức:

Nếu w = f(z) là ánh xạ phức và nếu C là đường cong có tham số z(t), a ≤ t ≤ b thì
w = f(t) = f(z(t)) a ≤ t ≤ b
là hàm tham số hoá của ảnh C’ của C qua w = f(z)

VD: Ảnh của 1 đường cong tham số
Tìm ảnh của đọan thẳng đi từ 1 đến i dưới ánh xạ phức w = iz.
Giải:
Đặt C là đọan thẳng đi từ 1 đến i và C’ là ảnh của C theo f(z) = iz.
Ta có: z0 = 1 ,z1 = i
Theo công thức  z(t) = 1 – t +it 0 ≤ t ≤ 1
w(t) = f(z(t)) = i(1 – t +it) = -i(1 – t) – t,0 ≤ t ≤ 1
 z0 = -i, z1 = -1 theo w(t)
Ảnh C’ là đọan thẳng đi từ -i đến -1
2.3 Ánh xạ tuyến tính:
Một hàm số thực có dạng f(x) = ax+b với a,b là hằng số thực ,ta gọi là hàm số tuyến tính.
Tương tự ta có một hàm số phức tuyến tính là hàm số có dạng f(z) = az + b với a,b là hằng số phức.
Một ánh xạ tuyến tính phức có thể được tạo thành bằng tổ hợp 3 cách: phép dời trục tọa độ, phép quay, tỷ số giãn.
Phép dời trục tọa độ:
Một hàm số phức tuyến tính:
T(z) = z + b b ≠ 0 (1)
được gọi là dời trục tọa độ.
Nếu z = x+iy và b = x0 + iy0, khi đó:
T(z) = (x + iy) + (x0 + iy0) = x + x0 + i(y + y0)
Như vậy, ảnh của điểm (x,y) theo T là điểm
(x + x0,y + y0),ta có hình 2.8
Vì thế ánh xạ tuyến tính T(z) = z + b có thể được xem như quá trình tịnh tiến điểm z theo vector (x0,y0) đến điểm T(z) trong bản sao của mặt phẳng phức. Điểm (x0,y0) là vectơ biểu diễn của số phức b,ánh xạ T(z) = z + b cũng được gọi là phép dời trục tọa độ bởi b
VD: Ảnh của 1 hình vuông theo phép dời trục tọa độ.
Tìm ảnh S’ của hình vuông S với các đỉnh ở 1 + i, 2 + i, 2 + 2i và 1 + 2i theo ánh xạ tuyến tính T(z) = z + 2 – i.
Giải:
Ta biểu diễn S và S’ được xây dựng bằng cách vẽ ảnh của mặt phức.
Theo (1): b = x0 + iy0 = 2 +i(-1).

Tập các đỉnh của các vectơ là S’, ảnh của S theo T.Theo hình 2.9 chứng tỏ rằng S’ là 1 hình vuông với các đỉnh ở:
T(1 + i) = (1 + i) + (2 – i)
= 3
T(2 + i) = (2 + i) + (2 – i)
= 4
T(2 + 2i) = (2 + 2i) + (2 – i) = 4 + i
T(1 + 2i) = (1 + 2i) + (2 – i) = 3 + i
Phép quay:
Một hàm tuyến tính phức:
R(z) = az, a = 1
được gọi là một phép quay.
Nếu α là một số phức bất kì khác 0, khi đó
a = α/ α là một số phức và |a|=1 .Vì vậy với bất kì số phức khác không α, ta có R(z) = z là một phép quay.

Khi a = 1 và Arg(a) > 0, ta có thể viết a ở dạng mũ a = eiθ với 0 < θ ≤
Nếu a = eiθ và z = reiΦ thì:
R(z) = eiθreiΦ = rei(θ + Φ)
Nếu z và R(z) được xây dựng bằng cách vẽ ảnh của mặt phức, khi đó tất cả các điểm đều nằm trên 1 cung tròn tâm tại 0,bán kính r.

VD: Ảnh của đường thẳng theo phép quay
Tìm ảnh của trục thực y = 0 theo ánh xạ tuyến tính:
R(z) = ( + i )z.
Giải:
Đặt C là trục thực y = 0 và C’ là ảnh của C theo R.Vì
+ i = 1, ánh xạ
phức R(z) là một phép quay.
Ta có: + i =e

Vì y=0 => z=r => R(z)=re
Do đó,nếu z và R(z) được vẽ trong mặt sao của mặt phức,khi đó điểm R(z) chính là điểm z được quay ngược chiều kim đồng hồ một góc
Phép tỉ số giãn:
Một hàm phức tuyến tính:
M(z) = az , a > 0
được gọi là tỉ số giãn
Nếu z = x + iy, khi đó M(z) = az = ax + iay, vì vậy ảnh của điểm (x,y) là điểm (ax,ay).Khi dùng dạng mũ z = reiθ ta có:
M(z) = a(reiθ) = (ar)eiθ
a, r là những số thực và độ lớn của M là ar.

Giả sử a > 1,khi đó điểm phức z và M(z) có cùng góc θ nhưng khác môdun (r ≠ ar)
Nếu ta dựng các điểm phức z và M(z) bằng cách vẽ ảnh của mặt phức, khi đó M(z) là điểm trên tia xuất phát từ 0 chứa z và cách 0 một khoảng ar. Khi a>1 M(z) cách gốc xa hơn z.
Số thực a được gọi là hằng số giãn của M(z)
VD: Ảnh của một cung tròn theo phép tỷ số giãn.
Tìm ảnh của cung C cho bởi = 2 theo ánh xạ tuyến tính M(z) = 3z.
Giải:
Hằng số giãn là 3,vậy mỗi điểm M(z) trong ảnh có môdun là 3.2 = 6.
Ảnh C’ là cung tròn = 6 tâm tại góc trục toạ độ và bán kính là 6.
AÛnh cuûa 1 ñieåm qua aùnh xaï tuyeán tính
F(z) = az + b laø 1 aùnh xaï tuyeán tính vôùi a≠ 0 vaø z0 laø 1 ñieåm trong maët phaúng phöùc. Neáu ñieåm w0 = f(z0) ñưôïc xaây döïng baèng caùch veõ aûnh cuûa maët phöùc thì w0 laø 1 ñieåm coù ñược baèng caùch
(i)phép quay z0 1 goùc Arg(a) so vôùi goác toaï ñoä
(ii) phép tỉ số giãn(hằng số giãn |a|)
(iii) phép dời trục tọa độ bởi b

Một ánh xạ tuyến tính phức w = az + b với
a ≠ 0 có thể làm biến dạng đồ thị (hình vẽ) nhưng không thể thay đổi kiểu đồ thị (hình vẽ).
VD: Ảnh của một hình chữ nhật theo ánh xạ tuyến tính.
Tìm ảnh của hình chữ nhật với các đỉnh -1 + i, 1 + i, 1 + 2i, -1 + 2i theo ánh xạ tuyến tính f(z) = 4iz + 2 + 3i.
Giải:

Đặt S là hình chữ nhật với các đỉnh đã cho và S’ là ảnh của S theo f. Vì f là ánh xạ tuyến tính nên S’ cũng là hình chữ nhật. Vậy ta chỉ cần tìm đỉnh của S’, tức là ảnh của các đỉnh của S theo f.
f(-1 + i) = -2 - i f(1 + i) = -2 + 7i
f(1 + 2i) = -6 + 7i f(-1 + 2i) = -6 – I
Vậy S’ là hình chữ nhật với các đỉnh -2 – i, -2 + 7i, -6 + 7i, -6 – i.

Ánh xạ tuyến tính f(z) = 4iz + 2 + 3i ở VD trên có thể làm theo phép quay, phép tối giãn, phép dời trục toạ độ.
Vì Arg(4i) = /2 và = 4, f được biểu bởi phép quay 1 góc /2, tỷ số giãn là 4, dời trục 2 + 3i.