Hàm phân thức chính qui

Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
3.3. Hàm phân thức chính quy
Định nghĩa 3.3. Hàm số xác định trên tập được gọi là hàm phân thức chính quy, nếu


trong đó
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Ví dụ 3.11. Dễ dàng kiểm chứng các hàm số sau đây là phân thức chính quy:




Tính chất 3.3. Nếu là các hàm phân thức chính quy, thì ứng với mọi
Tính chất 3.4. Nếu và là các hàm phân thức chính quy, thì với mọi cặp số dương hàm số

cũng là hàm phân thức chính quy.
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Tính chất 3.5. Nếu và là các hàm phân thức chính quy, thì hàm số


cũng là hàm phân thức chính quy.

Tính chất 3.6. Nếu là các hàm phân thức chính quy, thì hàm số


cũng là hàm phân thức chính quy.




Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Định nghĩa 3.4. Hàm số được gọi là hàm phân thức chính quy trên tập
nếu




trong đó


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Định nghĩa 3.5. Giả sử hàm số là hàm phân thức chính quy, tức thoả mãn điều kiện (3.18) – (3.19). Khi đó các hàm số


được gọi là các phân thức thành phần biến của
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Ví dụ 3.12. Dễ dàng kiểm chứng hàm số sau đây là phân thức chính quy:


và các hàm số


là các phân thức thành phần của
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Ví dụ 3.13. Dễ dàng kiểm chứng hàm số sau đây là phân thức chính quy:


và các hàm số

là các phân thức thành phần của

Từ định nghĩa, ta dễ dàng chứng minh:
Định nghĩa 3.4. Hàm số là hàm phân thức chính quy
khi và chỉ khi các hàm phân thức thành phần của cũng là các hàm phân thức chính quy.
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Định lý 3.5. Với mỗi hàm phân thức chính quy trên tập
dạng




trong đó




ta đều có
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Chứng minh. Để chứng minh định lý, ta nhắc lại hệ quả của bất đẳng thức AG suy rộng:
Với cặp số dương ta đều có




Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Sử dụng kết quả này ta thu được






do giả thiết



Dấu đẳng thức xảy ra khi
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Hệ quả 3.4. Với mỗi hàm phân thức chính quy trên tập
ta đều có


Nhận xét 3.4. Với mọi hàm phân thức dạng


Đặt


thì hàm số


là một hàm phân thức chính quy
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Chứng minh. Thật vậy, ta có



và vì vậy



điều phải chứng minh.
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Định lý 3.6. Mọi hàm phân thức dạng



đều có tính chất


trong đó
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG
Chứng minh. Thật vậy, theo nhận xét ở trên, ta có



là một phân thức chính quy, nên theo định lý 3.5, thì



Mà nên ta có ngay điều phải chứng minh.
Bạn đã hoàn thành Mục 3.3 Chương 3
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

BÀI GIẢNG