Hàm đơn điệu

Chương 2
Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG
2.1. Hàm đơn điệu


Ký hiệu là nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp
hoặc với

Khi hàm số xác định trên tập và thoả mãn điều kiện với mọi ta đều có


thì là một hàm đơn điệu tăng trên
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG



Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp ta đều có


thì là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên

Ngược lại, khi


thì là một hàm đơn điệu giảm trên
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG


Nếu xảy ra


thì là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên
Những hàm số đơn điệu tăng thực sự trên được gọi là hàm đồng biến trên và hàm số đơn điệu giảm thực sự trên được gọi là hàm nghịch biến trên tập đó.

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG
Định lý 2.1. Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng
(i) Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.
(ii) Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG

Định lý 2.2. Hàm xác định trên là một hàm số đơn điệu tăng khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương và ta đều có
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG
Định lý 2.3. Để bất đẳng thức




được thoả mãn với mọi bộ số dương điều kiện đủ là hàm

đơn điệu tăng trên

Chứng minh: Nhận xét rằng, ta có hàm số và (2.2) sẽ có dạng (2.1) với


hiển nhiên được thỏa mãn ứng với là một hàm số đơn điệu tăng trên
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG
Hệ quả 2.1. Giả sử là hàm đơn điệu tăng trong

Khi đó với mọi dãy số dương và giảm ta đều có




Nhận xét rằng, (2.2’) không là điều kiện cần để là một hàm đồng biến. Thật vậy, chỉ cần chọn hàm có tính chất


ta dễ dàng kiểm chứng rằng (2.2’) được thoả mãn. Chẳng hạn, hàm số


thoả mãn điều kiện nêu trên và vì vậy nó thoả mãn điều kiện (2.2’). Tuy nhiên, hàm không là hàm đơn điệu tăng trên
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG
Nếu bổ sung thêm điều kiện: là hàm đồng biến trên

và là bộ số gồm các số lớn hơn 1, thì ta thu được bất đẳng thức thực sự:




Tương tự, ta cũng có thể phát biểu các đặc trưng đối với hàm đơn điệu giảm.
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG
Định lý 2.4. Hàm xác định trên là một hàm số đơn điệu giảm khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương và ta đều có


Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG
Định lý 2.5. Để bất đẳng thức



được thoả mãn với mọi bộ số dương điều kiện đủ là hàm

đơn điệu giảm trên
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG
Trong số các hàm số sơ cấp một biến, thì hàm tuyến tính
đóng vai trò quan trọng, vì nó dễ nhận biết về tính đồng biến (khi )
và nghịch biến (khi ) trong mỗi khoảng tuỳ ý cho trước.
Định lý 2.6. Giả thiết rằng, với mọi cặp bộ số dương


ta đều có



Thì trong đó là hằng số.
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG
Định lý 2.7. (Maclaurin, Cauchy) Giả thiết rằng là một hàm đơn điệu giảm trên Khi đó, ta luôn có



Khi là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự.
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG
Định lý 2.8. Giả thiết rằng là một hàm đơn điệu giảm trên và là một dãy tăng trong Khi đó, ta luôn có






Khi là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự.
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG
Định lý 2.9. Giả thiết rằng là một hàm đồng biến trên và
Gọi là hàm ngược của Khi đó, ta luôn có








Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG

Hệ quả 2.2. Giả thiết rằng là một hàm đồng biến trên và
Gọi là hàm ngược của Khi đó, ta luôn có




Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG

Định lý 2.10. Cho hàm số liên tục, không âm và đơn điệu tăng trên với Khi đó ta có




Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG
Định lý 2.11.
Cho hàm số liên tục và nghịch biến trên Khi đó, ta luôn có




Tương tự, với liên tục và đồng biến trên thì



Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG
Hệ quả 2.3.
Nếu và liên tục và nghịch biến trên thì ta đều có



Nếu liên tục và đồng biến trên thì ta đều có


Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG
Định lý 2.12 [Bất đẳng thức thứ tự Chebyshev].
Giả sử và là hai hàm đơn điệu tăng và là một dãy đơn điệu tăng:


Khi đó với mọi bộ trọng :


ta đều có
Bạn đã hoàn thành Mục 2.1 Chương 2
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU

BÀI GIẢNG