Hàm biến phức

PHẦN I: HÀM BIẾN PHỨC
CHƯƠNG I: HÀM BIẾN PHỨC. ĐẠO HÀM CỦA HÀM BIẾN PHỨC
Trong giải tích: số thực bao gồm số hữu tỷ và số vô tỷ. Bình phương của mọi số thực đều không âm, có thể lấy căn bậc hai, nhưng đối với số âm không thể lấy căn bậc hai và không giải mọi phương trình bậc hai với hệ số thực. Do vậy người ta đưa ra khái niệm số phức cũng như xác định các phép toán về số phức phải đạt được yêu cầu: sao cho các số thực và các phép toán trên tập các số thực có xem số thực như là trường hợp riêng của số phức và các phép toán trên tập các số phức.
1.1.Khái niệm về miền và biên của miền
1.1.1. Số phức
1.1.1.1. Định nghĩa số phức
Biểu thức của số phức:
z = x+iy (1.1)
Trong đó: x, y là các số thực
i là đơn vị ảo
x là phần thực của z: x = Rez
y là phần ảo của z: x = Imz
Tập hợp các số phức là C=(z=x + iy; x, y ( R(
Nếu: y = 0 thì z = x: số thực là trường hợp riêng của số phức
Nếu: x = 0 thì z = iy: số thuần túy ảo
Liên hợp phức của z, kí hiệu là:

Số phức đối của z là: -z = -x-iy
Cho hai số phức:
hai chỉ số 1, 2 chỉ hai số phức
Nếu z1 = z2 thì

1.1.1.2. Các phép tính về số phức
a) Phép cộng
Cho hai số phức:

Gọi z = x+iy là tổng của z1 và z2: z = z1 + z2
Nếu
Thì z = z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2)
- Tính chất:
Giao hoán: z1 + z2 = z2 + z1
Kết hợp: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3
- Ví dụ: Cho
thì z = z1 + z2 = (3+5) +i(1-3) = 8-2i
b) Phép trừ
Gọi x là hiệu của z1 và z2 nếu z + z2 = z1
Ta có: (x +iy) + (x2 + iy2) = x1 +iy1
(x + x2) +i(y + y2) = x1 +iy1
Suy ra:

Vậy trừ hai số phức ta trừ phần thực cho nhau và phần ảo cho nhau:
z=z1-z2=(x1-x2) +i(y1-y2)
c) Phép nhân
Gọi
z=(x1x2-y1y2) + i(x1y2 + x2y1) (1.2)
là tích của z1 và z2. Khi đó: z = z1.z2
- Tính chất:
Giao hoán: z1.z2 = z2.z1
Kết hợp: (z1.z2)z3 = z1(z2.z3)
Phân bố đối với phép cộng: z1(z2 + z3) = z1z2+ z1z3
- Chứng minh: i2 = -1
Chọn

Khi đó: z1.z2 = i.i = i2 = -y1.y2 = -1
Như vậy: i2 = -1 được suy ra từ phép nhân hai số phức, không phải từ định nghĩa số phức. và nhân giống như số thực nhưng chú ý i2 = -1
- Ví dụ: cho

Thì z = z1.z2 = (3+i)(5-3i) = (3.5 -1(-3)) + i(3(-3) + 5.1) = 18 - 4i
d) Phép chia
Nếu z2 = x2 + iy2 ( 0
Thì z = x + iy sao cho z.z2 = z1
Ta có:
(x + iy)( x2 + iy2) = x1 +iy1 ( (xx2-yy2) + i(xy2 + x2y) = x1 +iy1
Suy ra:
đây là hệ phương trình bậc 1 hai ẩn số x, y
Khi đó, ta có các định thức của hệ:

(

Vậy:

(1.3)
1.1.1.3. Biểu diễn hình học của số phức. Dạng lượng giác của số phức
a) Biểu diễn hình học
Cho số phức z = x + iy thuộc mặt phẳng phức
Nếu cho một số phức z thì ta xác định được tọa độ của M(x,y), M gọi là tọa vị của số phức z
Trong