Gửi Nguyễn Thị Linh bài hình

Bài 5. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. C là một điểm bất kỳ trên cung AB (C khác A, C khác B). Tiếp tuyến tại C của (O) cắt Ax tại M, cắt By tại N.ON cắt BC tại K và OM cắt AC tại H.
a) BM cắt HK tại I. Chứng minh CI vuông góc với AB tại E và IC = IE
b) Chứng minh: A, I, N thẳng hàng.


a/ CI⊥AB và IC=IE
MC=MA (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA=OC=R
⇒OM là đường trung trực AC ⇒OM⊥AC tại H và HA=HC
NC=NA (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OB=OC=R
⇒ON là đường trung trực BC ⇒ON⊥BC tại K và KB=KC
⇒HK là đường trung bình của △ABC ⇒HK//AB và HK=AB/2
△ABC nội tiếp (O) có cạnh AB là đường kính
⇒△ABC vuông tại C ⇒ BC⊥AC ⇒BC//OM và AC//ON.
△IMH∽IBK (g.g) ⇒IM/IB =MH/BK=MH/CK
△MHCCKN (g.g) ⇒MC/CN=MH/CK=IM/IB
⇒CI//BN (định lí talet đảo) và BN⊥AB ⇒CI⊥AB tại E.
Ta lại có HA=HC và HK//AB ⇒IC = IE
b/ A, I, N thẳng hàng:
IM/IB=MC/CN ⇒MI/IB=AM/BN (vì MC=AM ,CN=BN)
và ∠AMINBI(sole trong) ⇒△AMINBI(c.g.c)
⇒∠AIMNIB⇒∠AIMMINNIBMIN=180°
⇒∠AIN=180° ⇒ A, I, N thẳng hàng.