Gửi Nguyễn Thị Linh bài hình

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm thuộc nửa đường tròn (C khác A và B). Qua C kẻ tiếp tuyến với (O), tiếp tuyến này cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) tại E và F.BC cắt OF tại H và cắt AE tại D. Gọi I là trung điểm của HF
BI cắt (O) tại K khác B, AC cắt DO tại N và cắt OE tại M. DM cắt AB tại P, OE cắt NP tại Q. Chứng minh:
HK vuông góc BI
NP//AD
A, Q, F thẳng hàng.


a/HK⊥BI

Goi J là giao điểm của AC và BI, ta có:
BF=FC ⇒OB=OC=R ⇒OF là đường trung trực BC
⇒OF⊥BC tại H và HB=HC.
∠ACB=90°(góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) ⇒AC⊥BC
Mà OF⊥BC ⇒AC//OF hay CJ//HI và HB=HC
Theo định lí đường trung bình của △BCJ, ta có:
IB=IJ và IH=IF(gt) ⇒CHFJ là hình bình hành ⇒HJ//BF
Vì BF⊥AB ⇒HJ⊥AB và BC⊥AJ ⇒H là trực tâm của △ABJ
⇒AH⊥BJ hay AH⊥BI
Ta lại có K thuộc (O) ⇒∠AKB = 90°(góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
⇒AK⊥BJ và AH⊥BI ⇒A, H, K thẳng hàng ⇒HK⊥BI

b/ NP//AD
AE=EC ⇒OA=OC=R⇒OE là đường trung trực AC
⇒OE⊥AC tại M mà BD⊥AC ⇒ OE//BD và OA=OB=R
⇒OE là đường trung bình △ABD ⇒ EA=ED
Theo hệ thức lượng trong △AEO vuông tại A:
AE =EM.EO=DE ⇒△DEM∽△OED(c.g.c)
⇒∠EDMEOD hay ∠ADPMON và ∠DAPOMN= 90°
⇒ △ADPMON(g.g) ⇒ ∠APD = ∠MNO
⇒ ONMP nội tiếp ⇒ ∠OPN = ∠OMN = 90° ⇒NP⊥OK
hay NP⊥AB và AD⊥AB ⇒NP//AD

c/A, Q, F thẳng hàng
Ta có EA = EC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OC = R
Vậy OE là đường trung trực của AC ⇒OE⊥AC tại M
Cách 1:
Mà BD⊥AC ⇒OE//BD và OA=OB=R ⇒AE=ED(định lí đường trung bình của
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
OE và OF lần lượt là 2 tia phân giác của 2 góc kề bù AOC và BOC
⇒OE⊥OF tại O ⇒△EOFvuông tại O.
Áp dụng hệ thức lượng trong △vuông: EC.CF=OC =R
⇒AE.BF=OA.OA (vì AE=EC, BF=CF, OA=R) ⇒AD.BF=AB.OA
⇒AD/AB = OA/BF⇒△ABFDAO(c.g.c) ⇒∠BAFADO
mà ∠ADO AOD=90° ⇒∠BAFAOD = 90° ⇒AF⊥OD
△ANO có NP⊥AB hay NP⊥AO, OM⊥AN (OE⊥AC)
NP cắt OM tại Q ⇒Q là trực tâm △ANO ⇒AQ⊥OD và AF⊥OD
⇒AQ≡AF ⇒A, Q, F thẳng hàng.
Cách 2:
△AMO có NP//AD mà AD⊥AB
⇒NP⊥AO, OM⊥AN (OE⊥AC) ⇒ Q là trực tâm △MAO
⇒AQ là đường cao thứ 3 ⇒AQ⊥DO (1)
Tia FO cắt AD tại L. Ta có ∠AB, OA=OB, ∠BOFAOL
⇒△OBFOAL (g.c.g) ⇒OF=OL ⇒AFBL hình bình hành ⇒AF//BL,
OB=OC=R, FB=FC ⇒OF⊥BC
Xét △DBL có AB⊥DL, LF⊥BD,AB cắt LF tại O ⇒ O là trực tâm △DBL
⇒DO là đường cao thứ 3 ⇒DO⊥BL ⇒ BL//AF ⇒AF⊥ DO (2)
Từ (1) và (2), ta được AF≡AQ ⇒ A, Q, F thẳng hàng