Gửi Nguyễn Kim Ngọc bài hình

Cho đường tròn (O;R) có dây BC < 2R. K là điểm chính giữa cung nhỏ BC. kẽ đường kính KJ của (O). Lấy H trên tia đối tia CB, HJ cắt đường tròn tại A. Gọi I là giao điểm BC và AK.
CMR: IB.IC+ AI  = HB.HC – AH  = AC.AB


K là trung điểm cung nhỏ BC ⇒KJ⊥BC hay HB⊥KJ (quan hệ giữa đường kính,dây và cung)
△KAJ nội tiếp (O) nhận KJ là đường kính ⇒△KAJ vuông tại A ⇒KA⊥HJ tại A
cung BK = cung CK ⇒∠BAK IAC và ∠BKA ICA(cùng chắn cung AB)
⇒△BAKIAC(g.g) ⇒AB/AI=AK/AC ⇒AB.AC = AI.AK,
∠ACI BKI (cùng chắn cung AB) và ∠AIC BIK (đối đỉnh)
⇒△IACIBK(g.g) ⇒IB.IC = AI.IK =AI(AK-AI) = AI.AK - AI 
⇒IB.IC+ AI =AI.AK ⇒ IB.IC+ AI  =AC.AB
∠KAJ HAI = 90° và ∠AKJ AHI (cùng phụ ∠AJK)
⇒△AKJ∽AHI(g.g) ⇒AJ.AH=AI.AK
∠AHBCHJ và ∠ABHCJH (cùng chắn cung AC)
⇒△HABHCJ(g.g) ⇒HB.HC=JH.AH=(AH+AJ)AH = AH  +AJ.AH
⇒HB.HC - AH =AJ.AH =AI.AK=AB.AC ⇒ HB.HC- AH  = AB.AC
Vậy IB.IC+ AI  = HB.HC – AH  = AC.AB