Gửi Nguyễn Khánh Ninh

Nhờ mọi người xem giúp (cả 4 câu hình)

Đề bài:Cho đường tròn (O;R) ,đường kính AB.Trên (O) lấy điểm C sao cho BC>AC.Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D ,OD cắt AC tại E .Lấy điểm F thuộc BC sao cho EF//AB ,OF cắt BE tại I
1/Chứng minh:3 đường thẳng EF,OC,DI đồng quy tại 1 điểm
2/Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại H.Chứng minh :3 điểm A,F,H thẳng hàng
3/Chứng minh :Biểu thức Acó giá trị không đổi khi C di động trên đường tròn (O)
4/HE cắt AB tại K .Xác định vị trí điểm C trên đường tròn (O) sao cho DK vuông góc với DI


Có thể làm theo gợi ý sau:
1) - Tam giác CAB; FE//AB; O là trung điểm AB => OC đi qua trung điểm của EF
- Tam giác DOB; EF//OB => DI đi qua trung điểm EF và trung điểm S của OB.
(2 kết quả quen thuộc nhờ sử dụng định lí Talet).
2) * AC; FE là đường cao của tam giác DAF => AF vuông góc với OD (1)
* Gọi G là giao của AC với BH => H là trung điểm BG.
tam giác DAB đồng dạng với tam giác ABG (g.g.) => tgDAO đồng dạng với tgABH (c.g.c.) => gócADO = gócBAH => AH vuông góc với DO (2)
Từ (1) và (2) => A; F; H thẳng hàng.
3) Gọi M là giao của AF với DO. Vì OH//AC; EF//AB => AM/AF + AM/AH = OM/EO + EM/EO = 1 => (1/AF + 1/ AH)2 – 1/AC2 = 1/AM2 – 1/AC2 = (1/AD2 + 1/AO2) – (1/AD2 + 1/AB2) = 3R2/4 = const.
4) Gọi N là giao của HC với AD. Ta có tgANO đồng dạng với tgBOH (g.g.) => AN.BH = OA.OB = R2.
Đặt AN = DN = x => BH = R2/x;
Lại có AN//BH => AN/BH = KA/KB => KA = 2Rx2/(R2 – x2)
DK vuông góc với DI <=> AD2 = AK.AS <=> 4x2 = (3R/2). 2Rx2/(R2 – x2)
=> x = R/2 => vị trí C.