Gửi Nguyễn Đức Thắng

Nhờ thầy Nguyễn Minh Sang và thầy Đinh Văn Hưng
Bài toán: (hướng dẫn em cách làm câu b)
Cho am giác ABCcó ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ,AC>BC. Hai tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M, gọi H là hình chiếu của O trên MC.
Chứng minh năm điểm M, A, B, O H cùng thuộc một đường tròn.
Đường thẳng qua C song song với AB cắt MA, MB lần lượt tại E và F, HE cắt AC tại P, HF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng PQ // EF.


Mạn phép thầy Sang và thầy Hưng giúp bạn Nguyễn Đức Thắng.
Hướng dẫn:
Ta có :

MHA =
BHM =
BAM=
ABM (Vì tứ giác MAHB nội tiếp, tam giác MAB cân tại M)

ABM =
AEC (Hai góc đồng vị của hai đường thẳng song song EF//AB)
Suy ra
MHA=
AEC suy ra tứ giác AHCE nội tiếp(tính chất góc ngoài của tứ giác)



CHE=
CAE =
ABC (góc tạo bởi tia tiếp tuyến AE và dây AC và góc nội tiếp trong (O) cùng chắn cung AC) (1)

Tương tự
MHB =
ABM=
CFB (góc đồng vị của EF//AB) suy ra tứ giác BHCF nội tiếp (tính chất góc ngoài của tứ giác)


CHF=
CBF =
BAC (2)

Xét tứ giác HPCQ có:

QCP +
QHP =
BCA+
CHF+
CHE=
BCA+
BAC +
ABC=
(theo (1);(2))
Suy ra tứ giác HPCQ nội tiếp (đlí tứ giác nội tiếp)


CPQ=
CHQ=
CHF =
BAC (theo (1))
PQ//AB (có hai góc đồng vị bằng nhau)
Mà EF//AB suy ra PQ//EF.