Gửi em Võ Hoàng Tân (16-5)

Nhờ thầy giải hộ dùm em câu b ,c, Cám ơn thầy.
Cho đtròn (O;R) và điểm T nằm ngoài đường tròn. Qua T kẻ các tiếp tuyến TA và TB đến (O), A và B là các tiếp điểm.Tren đoạn thẳng TA lấy điểm M ( M khác A và T), gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AB với MO, đường thẳng qua E vuông góc với MO cắt đoạn thẳng TB tại N, NO cắt đoạn thẳng AB tại F.
Chứng minh OAMF và EMNF là các tứ giác nội tiếp.
Khi M thay đổi trên đoạn thẳng TA, Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MON luôn luôn thuộc đường thẳng cố định.
Chứng minh MN tiếp xúc với đường tròn (O;R). Xác định vị trí của điểm M để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất.
( Chuyên ĐHNN Hà Nội nam 2016 )
Em võ hoàng Tân


b) Gọi I là giao điểm của đường trung trực của NO với đường thẳng TO. Gọi R1 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MON. Ta có NO = sinNMO. 2R1 lại có
MNE =
MFE (vì EMNF là tứ giác nội tiếp) và
DFH =
FOH (vì tam giác DFO vuông tại F và FH lag đường cao)
MNF =
FOH lại có
NMO +
MNE = 900 vậy sin NMO =Sin (900 -
FOH)= cosFOH =
. Từ đó OI = R1. giả sử I’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MON khi đó I’ thuộc GI. OI= R1= OI vậy I trùng I’ hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MON nằm trên đường thẳng TO cố định.
c) Gọi P là trực tâm của tam giác OMN. Khi đó OP vuông góc với MN tại K. vì PFOE là tứ giác nội tiếp nên
PFE =
MOA. Của đường tròn tâm O. Từ đó
KOM =
AOM ( cạnh huyền – góc nhọn ) . Vậy OK = OA = R hay MN là tiếp tuyến của đường tròn tâm 0 . Kẻ RS //AB qua O. Khi đó ta có RS vuông góc với OT và
BRO =
ASO từ đó BR = AS = x không đổi . Ta có
BOR =
AOS ;
NOR =
NOK ;
KOM =
MOA nên
NOB +
BOR +
AOM = 900 mà
AMO +
AOM = 900 nên
ASO =
NOR .Tương tự
MOS=
ONS vậy
RMN đồng dạng
SMO hay NR. MS = OR2 . hay NR.MS = OR2. Đặt NB = a, MA= b ta có MN = a+b và OR2 = (a +x)(b +x)
. Vậy a +b
2 OR -2x . Do OR và x = BR không đổi nên a+ b nhỏ nhất là 2OR – 2x dấu bằng khi K là điểm chính giữa cung AB