Gửi em Nguyên Hòa

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB .kẻ tiếp tuyến Ax với (O;R) Lấy điểm E trên tia Ax sao cho AE>R  .Kẻ tiếp tuyến EM với (O;r) (M khác A ). Đường thẳng vuông góc AB tại O cắt BM tại N
a)  chứng minh OE là trung trực của AM và tứ giác OBNE là hình bình hành
b) Chứng minh rắng 5 điểm A,E,N,M,O cùng thuộc một đường tròn
c) cho R =4cm,OE=6 cm tính diện tích tứ giác OBME
d) giả sử AN cắt OE tại K ,EM cắt ON tại I và EN cắt OM tại J .Chứng minh :I,J,K thẳng hàng




a) +) EA=EM (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
OA=OM ( = R)
Suy ra OE là trung trực AM
+)
AMB nội tiếp (O) có AB là đường kính
Suy ra
AMB vuông tại M hay BM
AM
Suy ra BN // EO ( cùng vuông góc với AM) (1)
Ta có: Góc B = góc EOM (= góc AOE)
OB = OM ( = R) Suy ra:
OME vuông tại M =
BON vuông tại O
Suy ra: BN = OE (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác OBNE là hình bình hành
b) tứ giác OBNE là hình bình hành ( EN//OB mà OB
ON suy ra EN
ON
Suy ra tam giác ENO vuông tại N ( N nằm trên đường tròn đường kính EO (*)

AEO vuông tại A( A nằm trên đường tròn đường kính EO (2*)

MEO vuông tại M( M nằm trên đường tròn đường kính EO (3*)
Từ (*)(2*)(3*) suy ra A,E,N,M,O cùng thuộc một đường tròn Đường kính EO
c) Ta có: SMOB = SMOA ( cùng chiều cao cạnh tương ứng bằng nhau) = 2SAPO
SEMO = SEAO ( hai tam giác vuông bằng nhau)
Suy ra: SOBME = SMOB + SEMO = 2SAPO+ SEAO
Biết R =4cm,OE=6 cm Tính được AE, AP,PO (Pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Từ đó tính được SEAO và SAPO Suy ra SOBME
d) Dễ thấy tứ giác AENO là hình chữ nhật ( tứ giác có 3 góc vuông)
Suy ra: KE = KO ( t/c hình chữ nhật)
Góc IEO = góc AEO ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có: góc AEO + góc AOE = 900
Góc IOE + góc AOE = 900 suy ra: góc AEO = góc IOE
suy ra: góc IEO = góc IOE (
IEO cân tại I có IK là trung tuyến ( IK là đường cao
suy ra: IK
EO (3)
Mặt khác: IEO có ON và EM là đường cao ( I là trực tâm (JI
EO (4)
Từ (3) và (4) IK và JI trùng nhau tức là J,I,K thẳng hàng