Gửi Bùi Văn Tính câu c,d bài hình

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm C sao cho AC < BC. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt Ax và By lần lượt tại E, F.
Chứng minh: EF = AE + BF
BC cắt Ax tại D. Chứng minh: AD = DC.DB
Gọi I là giao điểm của OD và AC, OE cắt AC tại H, tia DH cắt AB tại K. Chứng minh: IK // AD
IK cắt EO tại M. Chứng minh: A, M, F thẳng hàng


c/ IK//AD
AE=EC ⇒OA=OC=R
⇒OE là đường trung trực AC
⇒OE⊥AC tại H mà BD⊥AC
⇒ OE//BD và OA=OB=R
⇒OE là đường trung bình △ABD
⇒ AE=DE
Theo hệ thức lượng trong △AEO vuông tại A: AE=EH.EO = DE ⇒△DEHOED(c.g.c)
⇒∠EDHEOD
hay ∠ADKHOI
và ∠DAKOHI= 90°
⇒ △ADKHOI (g.g)
⇒ ∠AKD = ∠HIO
⇒ OIHK nội tiếp ⇒∠OKI = ∠OHI=90°
⇒IK⊥OK hay IK⊥AB và AD⊥AB ⇒IK//AD
d/A, M, F thẳng hàng
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có
EA=EC và OA=OC=R
Vậy OE là đường trung trực của AC ⇒OE⊥AC tại H
Cách 1:
Mà BD⊥AC ⇒OE//BD và OA=OB=R ⇒AE=ED (định lí đường trung bình của
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
OE và OF lần lượt là 2 tia phân giác của 2 góc kề bù AOC và BOC
⇒OE⊥OF tại O ⇒△EOFvuông tại O.
Áp dụng hệ thức lượng trong △vuông:
EC.CF= OC=R ⇒AE.BF=OA.OA (vì AE=EC, BF=CF, OA=R)
⇒AD.BF=AB.OA ⇒AD/AB=OA/BF
⇒△ABFDAO(c.g.cBAFADO
mà ∠ADOAOD=90BAFAOD=90AF⊥OD
△AIO có IK//AD mà AD⊥AB ⇒IK⊥AO, OH⊥AI(OE⊥AC)
IK cắt OH tại M ⇒M là trực tâm △IAO ⇒AM⊥OD và AF⊥OD
⇒AM≡AF⇒A, M, F thẳng hàng.

Cách 2:
△AIO có IK//AD mà AD⊥AB
⇒IK⊥AO, OH⊥AI(OE⊥AC)
⇒M là trực tâm △IAO
⇒AM là đường cao thứ 3 ⇒AM⊥DO (1)
Tia FO cắt AD tại Q. Ta có ∠AB, OA=OB, ∠BOFAOQ
⇒△OBFOAQ (g.c.g) ⇒OF=OQ
⇒AFBQ hình bình hành ⇒AF//BQ,
OB=OC=R, FB=FC ⇒OF⊥BC
△DBQ có AB⊥DQ, QF⊥BD,AB cắt QF tại O
⇒ O là trục tâm △DBQ ⇒DO là đường cao thứ 3
⇒DO⊥BQ ⇒ BQ//AF ⇒AF⊥ DO (2)
Từ (1) và (2), ta được AF≡AM
⇒ A, M, F thẳng hàng