Gửi bạn ngọc minh bài bài hình

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng :




Lời giải: áp dụng bđt cô si cho 3 số là p-a,p-b,p-c ta có


=>
(1)
Từ (1) sau khi nhân cả hai vế với p
Áp dụng công thức Hê rông ta có


=>
(2)
Dấu “=” xảy ra trong cả (1) và (2) <=> p-a=p-b=p-c
<=> ABC là tam giác đều
Ta có :

, vì

=>

(3)

Dấu “=” xảy ra khi b=c
Tương tự , có
(4)

(5)
Từ (3),(4),(5) suy ra

(6)
Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC đều
Áp dụng công thức Hê-rông vào (6) ta có :

(7)
Dấu “=” xảy ra khi ABC đều
Ta có :
(8)
Theo bất đẳng thức cô si ta có :


=>
(9)
Từ (8),(9) ta có:
(10)
Dấu bằng xảy ra khi ABC đều
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương ta có:

(11)
Dấu bằng xảy ra khi

Từ (7), (10),(11) suy ra
(12)
Dấu bằng xảy ra khi ABC là tam giác đều

Từ (2) suy ra
(13)
Thay (13) vào (12) ta có :

(14)
Do
,và

Vậy từ (14) suy ra
(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra trong biểu thức trên đồn thời có trong (12) , (13) hay ABC đều .